Номер 9, страница 100, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

19. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 9, страница 100.

Условие.

9. При каком значении $b$ один из корней уравнения $(b - 3) x^2 + x - 7 = 0$ равен $-1$? Чему равен второй корень этого уравнения?

Решение.

Решение 2.

При каком значении b один из корней уравнения равен -1?

Дано уравнение $(b - 3)x^2 + x - 7 = 0$. По условию, один из корней этого уравнения, назовем его $x_1$, равен -1. Если число является корнем уравнения, то при подстановке этого числа вместо переменной $x$ мы получим верное числовое равенство. Подставим $x = -1$ в исходное уравнение:
$(b - 3)(-1)^2 + (-1) - 7 = 0$

Теперь решим это уравнение относительно $b$. Учитывая, что $(-1)^2 = 1$:
$(b - 3) \cdot 1 - 1 - 7 = 0$
$b - 3 - 8 = 0$
$b - 11 = 0$
$b = 11$

Таким образом, при $b = 11$ один из корней уравнения будет равен -1.
Ответ: $b = 11$.

Чему равен второй корень этого уравнения?

Подставим найденное значение $b = 11$ в исходное уравнение, чтобы найти его конкретный вид:
$(11 - 3)x^2 + x - 7 = 0$
$8x^2 + x - 7 = 0$

Мы получили стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + Bx + c = 0$ (буква B использована, чтобы избежать путаницы с параметром b из условия), где коэффициенты равны: $a = 8$, $B = 1$, $c = -7$. Для нахождения второго корня, обозначим его $x_2$, воспользуемся теоремой Виета. Согласно теореме Виета, для корней $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{B}{a}$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Мы знаем, что $x_1 = -1$. Используем формулу для произведения корней:
$x_1 \cdot x_2 = \frac{-7}{8}$
$(-1) \cdot x_2 = -\frac{7}{8}$
$x_2 = \frac{7}{8}$

Для проверки можно использовать формулу для суммы корней:
$x_1 + x_2 = -\frac{1}{8}$
$-1 + x_2 = -\frac{1}{8}$
$x_2 = 1 - \frac{1}{8}$
$x_2 = \frac{7}{8}$
Оба метода дают одинаковый результат.
Ответ: второй корень равен $\frac{7}{8}$.