Номер 7, страница 99, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

19. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 7, страница 99.

Условие.

7. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = 3x + 10$.

Решение.

Решение 2.

Чтобы найти координаты точек пересечения параболы и прямой, нужно решить систему уравнений, которые их задают. В точках пересечения координаты $(x, y)$ удовлетворяют обоим уравнениям.

Даны уравнения:
1) Парабола: $y = x^2$
2) Прямая: $y = 3x + 10$

Так как в точках пересечения левые части уравнений (значения $y$) равны, мы можем приравнять их правые части, чтобы найти абсциссы (координаты $x$) этих точек:
$x^2 = 3x + 10$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - 3x - 10 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$a = 1, b = -3, c = -10$
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Мы нашли абсциссы точек пересечения. Теперь для каждого значения $x$ найдем соответствующую ординату (координату $y$), подставив $x$ в любое из исходных уравнений. Проще всего использовать уравнение параболы $y = x^2$.

При $x_1 = 5$:
$y_1 = 5^2 = 25$
Первая точка пересечения: $(5, 25)$.

При $x_2 = -2$:
$y_2 = (-2)^2 = 4$
Вторая точка пересечения: $(-2, 4)$.

Для проверки можно подставить координаты найденных точек в уравнение прямой $y = 3x + 10$:
Для точки $(5, 25)$: $25 = 3(5) + 10 \Rightarrow 25 = 15 + 10 \Rightarrow 25 = 25$. Верно.
Для точки $(-2, 4)$: $4 = 3(-2) + 10 \Rightarrow 4 = -6 + 10 \Rightarrow 4 = 4$. Верно.

Ответ: $(-2, 4)$, $(5, 25)$.