Номер 12, страница 101, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

19. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 12, страница 101.

Условие.

12. Решите относительно $x$ уравнение:

a) $(x - a)^2 - 2x + 4a = 2x + 12;$

б) $(x - 2m)^2 + 8m = 6x - 4m + 7.$

Решение.

Решение 2.

а) $(x - a)^2 - 2x + 4a = 2x + 12$

Для решения данного уравнения с параметром $a$ относительно переменной $x$, преобразуем его к стандартному виду квадратного уравнения $Ax^2+Bx+C=0$.

1. Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть уравнения:

$(x^2 - 2ax + a^2) - 2x + 4a - 2x - 12 = 0$

2. Сгруппируем члены с $x^2$, $x$ и свободные члены:

$x^2 + (-2ax - 2x - 2x) + (a^2 + 4a - 12) = 0$

$x^2 - (2a + 4)x + (a^2 + 4a - 12) = 0$

3. Мы получили квадратное уравнение относительно $x$. Найдем его дискриминант $D = B^2 - 4AC$:

Коэффициенты уравнения:

$A = 1$

$B = -(2a + 4)$

$C = a^2 + 4a - 12$

$D = (-(2a + 4))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 + 4a - 12)$

$D = (2a + 4)^2 - 4(a^2 + 4a - 12)$

$D = (4a^2 + 16a + 16) - (4a^2 + 16a - 48)$

$D = 4a^2 + 16a + 16 - 4a^2 - 16a + 48$

$D = 16 + 48 = 64$

4. Так как $D = 64 > 0$, уравнение всегда имеет два различных действительных корня при любом значении параметра $a$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8$

$x_{1,2} = \frac{-(-(2a+4)) \pm 8}{2 \cdot 1} = \frac{2a + 4 \pm 8}{2}$

Вычислим каждый корень отдельно:

$x_1 = \frac{2a + 4 + 8}{2} = \frac{2a + 12}{2} = a + 6$

$x_2 = \frac{2a + 4 - 8}{2} = \frac{2a - 4}{2} = a - 2$

Ответ: $x_1 = a + 6, x_2 = a - 2$.

б) $(x - 2m)^2 + 8m = 6x - 4m + 7$

Решим данное уравнение с параметром $m$ относительно переменной $x$. Для этого приведем его к виду квадратного уравнения.

1. Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:

$(x^2 - 4mx + 4m^2) + 8m - 6x + 4m - 7 = 0$

2. Сгруппируем члены уравнения:

$x^2 + (-4mx - 6x) + (4m^2 + 8m + 4m - 7) = 0$

$x^2 - (4m + 6)x + (4m^2 + 12m - 7) = 0$

3. Мы получили квадратное уравнение относительно $x$. Найдем его дискриминант $D = B^2 - 4AC$:

Коэффициенты уравнения:

$A = 1$

$B = -(4m + 6)$

$C = 4m^2 + 12m - 7$

$D = (-(4m + 6))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4m^2 + 12m - 7)$

$D = (4m + 6)^2 - 4(4m^2 + 12m - 7)$

$D = (16m^2 + 48m + 36) - (16m^2 + 48m - 28)$

$D = 16m^2 + 48m + 36 - 16m^2 - 48m + 28$

$D = 36 + 28 = 64$

4. Так как $D = 64 > 0$, уравнение всегда имеет два различных действительных корня при любом значении параметра $m$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8$

$x_{1,2} = \frac{-(-(4m+6)) \pm 8}{2 \cdot 1} = \frac{4m + 6 \pm 8}{2}$

Вычислим каждый корень отдельно:

$x_1 = \frac{4m + 6 + 8}{2} = \frac{4m + 14}{2} = 2m + 7$

$x_2 = \frac{4m + 6 - 8}{2} = \frac{4m - 2}{2} = 2m - 1$

Ответ: $x_1 = 2m + 7, x_2 = 2m - 1$.