Номер 4, страница 105, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

20. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 4, страница 105.

Условие.

4. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, обнесён забором длиной 120 м. Определите длину и ширину участка, если известно, что его площадь составляет 5 ар.

Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Решение. Пусть длина участка равна $x$ м, тогда его ширина рав-

на разности половины периметра и длины, т. е. ............ м.

Площадь участка составит ................ $ \text{м}^2$, что по условию задачи равно $500 \text{ м}^2$.

Решение.

Решение 2.

Решение.

Для начала, переведем площадь участка из аров в квадратные метры. Известно, что 1 ар равен 100 м². Следовательно, площадь участка:

$S = 5 \text{ ар} = 5 \times 100 \text{ м}^2 = 500 \text{ м}^2$.

Длина забора является периметром $P$ прямоугольного участка, то есть $P = 120$ м. Периметр прямоугольника находится по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ – длина, а $b$ – ширина. Сумма длины и ширины (полупериметр) составляет:

$a+b = \frac{P}{2} = \frac{120}{2} = 60$ м.

Теперь заполним пропуски в предложенном решении и завершим его.

Пусть длина участка равна $x$ м, тогда его ширина равна разности половины периметра и длины, т. е. $(60 - x)$ м.

Площадь участка составит $x(60 - x)$ м², что по условию задачи равно 500 м².

Составим уравнение, приравняв выражение для площади к ее значению:

$x(60 - x) = 500$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$60x - x^2 = 500$

$-x^2 + 60x - 500 = 0$

Умножим все члены уравнения на -1 для удобства:

$x^2 - 60x + 500 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-60)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 500 = 3600 - 2000 = 1600$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{60 + \sqrt{1600}}{2 \cdot 1} = \frac{60 + 40}{2} = \frac{100}{2} = 50$

$x_2 = \frac{60 - \sqrt{1600}}{2 \cdot 1} = \frac{60 - 40}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Оба корня являются положительными числами и подходят в качестве размеров сторон участка.

• Если длина участка равна 50 м, то его ширина составляет $60 - 50 = 10$ м.
• Если длина участка равна 10 м, то его ширина составляет $60 - 10 = 50$ м.

Таким образом, размеры участка составляют 50 метров в длину и 10 метров в ширину.

Ответ: длина участка 50 м, ширина 10 м.