Номер 10, страница 109, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

20. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 10, страница 109.

Условие.

10. Высота $h$ м, на которой через $t$ с окажется тело, брошенное вертикально вверх, вычисляется по формуле $h = v_0t - 5t^2$, где $v_0$ м/с – начальная скорость. В какой момент времени тело окажется на высоте 60 м, если за 2 с оно поднялось на 50 м? Поясните физический смысл полученного ответа.

Решение.

Решение.

Решение 2.

В какой момент времени тело окажется на высоте 60 м, если за 2 с оно поднялось на 50 м?

Сначала найдем начальную скорость $v_0$ тела, используя данные из условия: при времени $t = 2$ с высота $h = 50$ м. Подставим эти значения в заданную формулу $h = v_0t - 5t^2$:
$50 = v_0 \cdot 2 - 5 \cdot 2^2$
$50 = 2v_0 - 5 \cdot 4$
$50 = 2v_0 - 20$
$2v_0 = 50 + 20$
$2v_0 = 70$
$v_0 = 35$ м/с.

Теперь, зная начальную скорость, найдем время (или времена) $t$, когда тело окажется на высоте $h = 60$ м.
$60 = 35t - 5t^2$

Мы получили квадратное уравнение. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы привести его к стандартному виду $at^2 + bt + c = 0$:
$5t^2 - 35t + 60 = 0$

Для упрощения вычислений разделим все члены уравнения на 5:
$t^2 - 7t + 12 = 0$

Решим это уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета: сумма корней равна 7, а их произведение — 12. Этим условиям удовлетворяют числа 3 и 4.
Также можно найти корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2}$
$t_1 = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$ с.
$t_2 = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$ с.

Ответ: тело окажется на высоте 60 м в моменты времени 3 с и 4 с.

Поясните физический смысл полученного ответа.

То, что мы получили два положительных корня, имеет четкий физический смысл. Тело, брошенное вертикально вверх, движется по параболической траектории во времени. Оно сначала поднимается, достигает точки максимального подъема, а затем начинает падать. Следовательно, любую высоту, которая меньше максимальной, тело проходит дважды:

• первый раз ($t_1 = 3$ с) — при движении вверх;
• второй раз ($t_2 = 4$ с) — при движении вниз, возвращаясь к земле.

Между этими двумя моментами времени (в $t = 3.5$ с) тело достигает своей максимальной высоты.

Ответ: первый момент времени (3 с) соответствует подъему тела до высоты 60 м, а второй момент времени (4 с) — прохождению той же высоты во время падения.