Номер 8, страница 108, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

20. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 8, страница 108.

Условие.

8. Картинка, имеющая форму прямоугольника, длина которого 12 см, а ширина 7 см, наклеена на лист бумаги так, что образовалась рамка одинаковой ширины. Определите ширину рамки, если известно, что площадь листа бумаги равна $176 \text{ см}^2$.

Решение.

Решение.

Решение 2.

Пусть $x$ см – искомая ширина рамки.

Картинка имеет форму прямоугольника с длиной 12 см и шириной 7 см. Она наклеена на лист бумаги, образуя рамку одинаковой ширины $x$ со всех сторон.

Это означает, что к исходной длине картинки добавляется ширина рамки слева и справа. Новая длина, то есть длина листа бумаги, будет равна $12 + x + x = 12 + 2x$ см.

Аналогично, к исходной ширине картинки добавляется ширина рамки сверху и снизу. Новая ширина, то есть ширина листа бумаги, будет равна $7 + x + x = 7 + 2x$ см.

Площадь листа бумаги равна произведению его длины на ширину. По условию задачи, эта площадь составляет 176 см². Мы можем составить уравнение:

$(12 + 2x)(7 + 2x) = 176$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$12 \cdot 7 + 12 \cdot 2x + 2x \cdot 7 + 2x \cdot 2x = 176$

$84 + 24x + 14x + 4x^2 = 176$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$4x^2 + 38x + 84 - 176 = 0$

$4x^2 + 38x - 92 = 0$

Чтобы упростить вычисления, разделим обе части уравнения на 2:

$2x^2 + 19x - 46 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 19^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-46) = 361 + 368 = 729$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{729} = 27$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-19 + 27}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-19 - 27}{2 \cdot 2} = \frac{-46}{4} = -11.5$

Так как ширина рамки $x$ является геометрической величиной, она не может быть отрицательной. Поэтому корень $x_2 = -11.5$ не имеет физического смысла в данной задаче.

Единственным подходящим решением является $x = 2$.

Проверим результат. Если ширина рамки равна 2 см, то размеры листа бумаги составят:
Длина: $12 + 2 \cdot 2 = 16$ см.
Ширина: $7 + 2 \cdot 2 = 11$ см.
Площадь листа: $16 \text{ см} \cdot 11 \text{ см} = 176$ см².
Полученная площадь совпадает с площадью, указанной в условии задачи.

Ответ: 2 см.