Номер 3, страница 112, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

21. Теорема Виета. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 3, страница 112.

Условие.

3. В уравнении $x^2 + px - 75 = 0$ один из корней равен 5. Найдите другой корень и коэффициент p.

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи можно использовать два подхода: подставить известный корень в уравнение, чтобы найти коэффициент $p$, или использовать теорему Виета. Рассмотрим оба.

Способ 1: Подстановка известного корня

Поскольку число 5 является корнем уравнения $x^2 + px - 75 = 0$, оно должно обращать это уравнение в верное равенство при подстановке вместо $x$.

Нахождение коэффициента p

Подставим $x = 5$ в исходное уравнение:

$(5)^2 + p \cdot 5 - 75 = 0$

Выполним вычисления:

$25 + 5p - 75 = 0$

$5p - 50 = 0$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $p$:

$5p = 50$

$p = \frac{50}{5}$

$p = 10$

Ответ: коэффициент p равен 10.

Нахождение другого корня

Теперь, зная, что $p=10$, мы можем записать уравнение в полном виде: $x^2 + 10x - 75 = 0$.

Для нахождения второго корня воспользуемся теоремой Виета. Согласно теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения $x^2+bx+c=0$ произведение корней $x_1 \cdot x_2 = c$. В нашем случае $c = -75$.

$x_1 \cdot x_2 = -75$

Подставим известный корень $x_1 = 5$:

$5 \cdot x_2 = -75$

$x_2 = \frac{-75}{5}$

$x_2 = -15$

Ответ: другой корень равен -15.

---

Способ 2: Использование теоремы Виета

Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ по теореме Виета справедливы соотношения:

• $x_1 + x_2 = -p$ (сумма корней)
• $x_1 \cdot x_2 = q$ (произведение корней)

В нашем уравнении $x^2 + px - 75 = 0$ имеем $q = -75$. Известен один корень $x_1 = 5$.

Нахождение другого корня

Используем формулу для произведения корней:

$x_1 \cdot x_2 = -75$

Подставим $x_1 = 5$:

$5 \cdot x_2 = -75$

$x_2 = -15$

Ответ: другой корень равен -15.

Нахождение коэффициента p

Теперь, зная оба корня ($x_1=5$ и $x_2=-15$), используем формулу для суммы корней:

$x_1 + x_2 = -p$

$5 + (-15) = -p$

$-10 = -p$

$p = 10$

Ответ: коэффициент p равен 10.