Номер 5, страница 112, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

21. Теорема Виета. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 5, страница 112.

Условие.

5. Разность корней квадратного уравнения $x^2 + 3x + c = 0$ равна 17. Определите c.

Решение.

Решение 2.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета. Для общего квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + d = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ теорема Виета утверждает, что:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
$x_1 \cdot x_2 = \frac{d}{a}$

В нашем уравнении $x^2 + 3x + c = 0$ коэффициенты следующие: $a=1$, $b=3$, а свободный член (в общей формуле это $d$) равен $c$.

Применим теорему Виета к нашему уравнению, где $x_1$ и $x_2$ — его корни:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{3}{1} = -3$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{1} = c$.

По условию задачи, разность корней равна 17. Запишем это как $x_1 - x_2 = 17$ (допустив, что $x_1$ является большим корнем).

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными ($x_1$ и $x_2$): $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -3 \\ x_1 - x_2 = 17 \end{cases} $$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $x_1$:
$(x_1 + x_2) + (x_1 - x_2) = -3 + 17$
$2x_1 = 14$
$x_1 = \frac{14}{2} = 7$

Теперь подставим найденное значение $x_1=7$ в первое уравнение системы, чтобы найти $x_2$:
$7 + x_2 = -3$
$x_2 = -3 - 7$
$x_2 = -10$

Мы нашли оба корня уравнения: $x_1 = 7$ и $x_2 = -10$.

Чтобы определить $c$, воспользуемся соотношением для произведения корней из теоремы Виета:
$c = x_1 \cdot x_2$
$c = 7 \cdot (-10)$
$c = -70$

Ответ: $c = -70$.