Номер 8, страница 99, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

19. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 8, страница 99.

Условие.

8. Решите уравнение, используя формулу корней уравнения с чётным вторым коэффициентом:

$7x^2 - 22x + 3 = 0$; $D_1 = 11^2 - 7 \cdot 3 = 121 - 21 = 100$; $x = \frac{11 \pm \sqrt{100}}{7} = \frac{11 \pm 10}{7}$; $x_1 = \frac{1}{7}$; $x_2 = 3.$

a) $x^2 + 2x - 48 = 0;$

б) $11z^2 - 10z + 2 = 0;$

в) $5y^2 - 22y + 21 = 0;$

г) $x^2 - 10x - 18,75 = 0.$

Решение.

Решение 2.

а) $x^2 + 2x - 48 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$. Коэффициенты: $a=1$, $b=2$, $c=-48$.
Второй коэффициент $b=2$ является чётным числом. Воспользуемся формулой корней уравнения с чётным вторым коэффициентом: $x = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$, где $k = \frac{b}{2}$ и $D_1 = k^2 - ac$.
Найдем $k$:
$k = \frac{2}{2} = 1$.
Вычислим дискриминант $D_1$, который также называют "дискриминант, деленный на 4":
$D_1 = k^2 - ac = 1^2 - 1 \cdot (-48) = 1 + 48 = 49$.
Найдем корни уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{1} = -1 \pm 7$.
$x_1 = -1 - 7 = -8$.
$x_2 = -1 + 7 = 6$.
Ответ: $x_1 = -8, x_2 = 6$.

б) $11z^2 - 10z + 2 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=11$, $b=-10$, $c=2$.
Второй коэффициент $b=-10$ является чётным числом. Применим формулу для чётного второго коэффициента.
Найдем $k = \frac{b}{2}$:
$k = \frac{-10}{2} = -5$.
Вычислим дискриминант $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = (-5)^2 - 11 \cdot 2 = 25 - 22 = 3$.
Найдем корни уравнения по формуле $z = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$z_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{3}}{11} = \frac{5 \pm \sqrt{3}}{11}$.
$z_1 = \frac{5 - \sqrt{3}}{11}$.
$z_2 = \frac{5 + \sqrt{3}}{11}$.
Ответ: $z_1 = \frac{5 - \sqrt{3}}{11}, z_2 = \frac{5 + \sqrt{3}}{11}$.

в) $5y^2 - 22y + 21 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=5$, $b=-22$, $c=21$.
Второй коэффициент $b=-22$ является чётным. Используем соответствующую формулу.
Найдем $k = \frac{b}{2}$:
$k = \frac{-22}{2} = -11$.
Вычислим дискриминант $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = (-11)^2 - 5 \cdot 21 = 121 - 105 = 16$.
Найдем корни уравнения по формуле $y = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$y_{1,2} = \frac{-(-11) \pm \sqrt{16}}{5} = \frac{11 \pm 4}{5}$.
$y_1 = \frac{11 - 4}{5} = \frac{7}{5} = 1,4$.
$y_2 = \frac{11 + 4}{5} = \frac{15}{5} = 3$.
Ответ: $y_1 = 1,4, y_2 = 3$.

г) $x^2 - 10x - 18,75 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-10$, $c=-18,75$.
Второй коэффициент $b=-10$ является чётным. Чтобы избавиться от десятичной дроби в свободном члене, умножим обе части уравнения на 4:
$4(x^2 - 10x - 18,75) = 4 \cdot 0$
$4x^2 - 40x - 75 = 0$
Теперь коэффициенты нового уравнения: $a=4$, $b=-40$, $c=-75$.
Второй коэффициент $b=-40$ также чётный.
Найдем $k = \frac{b}{2}$:
$k = \frac{-40}{2} = -20$.
Вычислим дискриминант $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = (-20)^2 - 4 \cdot (-75) = 400 + 300 = 700$.
Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$x_{1,2} = \frac{-(-20) \pm \sqrt{700}}{4} = \frac{20 \pm \sqrt{100 \cdot 7}}{4} = \frac{20 \pm 10\sqrt{7}}{4}$.
Сократим дробь на 2, вынеся общий множитель в числителе за скобки:
$x_{1,2} = \frac{2(10 \pm 5\sqrt{7})}{4} = \frac{10 \pm 5\sqrt{7}}{2}$.
$x_1 = \frac{10 - 5\sqrt{7}}{2} = 5 - 2,5\sqrt{7}$.
$x_2 = \frac{10 + 5\sqrt{7}}{2} = 5 + 2,5\sqrt{7}$.
Ответ: $x_1 = 5 - 2,5\sqrt{7}, x_2 = 5 + 2,5\sqrt{7}$.