Номер 13, страница 95, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

18. Неполные квадратные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 13, страница 95.

Условие.

13. Решите уравнение:

а) $(3m - 2)^2 - (3m + 2)^2 + 3m(m + 8) = (2m - 3)(2m + 3);$

б) $(2x - 1)^2 - 5 = (x - 2)(x + 2);$

в) $(2c - 5)^2 + (2c + 5)^2 + (c - 2)(c + 2) = c^2;$

г) $(5y - 2)(y + 4) + (y - 3)(y + 3) = 9(2y + 5).$

Решение.

Решение 2.

а)

Решим уравнение $(3m - 2)^2 - (3m + 2)^2 + 3m(m + 8) = (2m - 3)(2m + 3)$.
Для левой части уравнения применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ к первым двум слагаемым, а также раскроем скобки в третьем слагаемом. Для правой части также применим формулу разности квадратов.
$(3m - 2)^2 - (3m + 2)^2 = ((3m - 2) - (3m + 2))((3m - 2) + (3m + 2)) = (3m - 2 - 3m - 2)(3m - 2 + 3m + 2) = (-4)(6m) = -24m$.
$3m(m + 8) = 3m^2 + 24m$.
$(2m - 3)(2m + 3) = (2m)^2 - 3^2 = 4m^2 - 9$.
Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:
$-24m + 3m^2 + 24m = 4m^2 - 9$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$3m^2 = 4m^2 - 9$
Перенесем слагаемые с переменной в одну сторону, а свободные члены в другую:
$9 = 4m^2 - 3m^2$
$m^2 = 9$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$m = \pm\sqrt{9}$
$m_1 = 3$, $m_2 = -3$.
Ответ: $m = -3; 3$.

б)

Решим уравнение $(2x - 1)^2 - 5 = (x - 2)(x + 2)$.
Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и разность квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
$(2x)^2 - 2(2x)(1) + 1^2 - 5 = x^2 - 2^2$
$4x^2 - 4x + 1 - 5 = x^2 - 4$
$4x^2 - 4x - 4 = x^2 - 4$
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
$4x^2 - x^2 - 4x - 4 + 4 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$3x^2 - 4x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(3x - 4) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $3x - 4 = 0$
$3x = 4$
$x = \frac{4}{3}$
Ответ: $x = 0; \frac{4}{3}$.

в)

Решим уравнение $(2c - 5)^2 + (2c + 5)^2 + (c - 2)(c + 2) = c^2$.
Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности, квадрат суммы и разность квадратов.
$((2c)^2 - 2(2c)(5) + 5^2) + ((2c)^2 + 2(2c)(5) + 5^2) + (c^2 - 2^2) = c^2$
$(4c^2 - 20c + 25) + (4c^2 + 20c + 25) + (c^2 - 4) = c^2$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$(4c^2 + 4c^2 + c^2) + (-20c + 20c) + (25 + 25 - 4) = c^2$
$9c^2 + 0c + 46 = c^2$
$9c^2 + 46 = c^2$
Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а свободные члены в правую:
$9c^2 - c^2 = -46$
$8c^2 = -46$
$c^2 = -\frac{46}{8}$
$c^2 = -\frac{23}{4}$
Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, следовательно, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.

г)

Решим уравнение $(5y - 2)(y + 4) + (y - 3)(y + 3) = 9(2y + 5)$.
Раскроем скобки в каждой части уравнения. Для второго слагаемого в левой части применим формулу разности квадратов.
$(5y^2 + 20y - 2y - 8) + (y^2 - 3^2) = 18y + 45$
$5y^2 + 18y - 8 + y^2 - 9 = 18y + 45$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(5y^2 + y^2) + 18y + (-8 - 9) = 18y + 45$
$6y^2 + 18y - 17 = 18y + 45$
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$6y^2 + 18y - 18y - 17 - 45 = 0$
$6y^2 - 62 = 0$
Перенесем свободный член в правую часть:
$6y^2 = 62$
$y^2 = \frac{62}{6}$
$y^2 = \frac{31}{3}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$y = \pm\sqrt{\frac{31}{3}}$
Ответ: $y = \pm\sqrt{\frac{31}{3}}$.