Номер 10, страница 93, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

18. Неполные квадратные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 10, страница 93.

Условие.

10. Решите относительно y уравнение:

a) $y^2 - b^2 + 4b - 4 = 0;$

б) $c^2 - \frac{2c}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{9}y^2 = 0.$

Решение.

Решение 2.

а) $y^2 - b^2 + 4b - 4 = 0$

Чтобы решить уравнение относительно $y$, выразим $y^2$ через остальные переменные. Для этого перенесем все члены, не содержащие $y$, в правую часть уравнения:

$y^2 = b^2 - 4b + 4$

Заметим, что выражение в правой части представляет собой формулу квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

В нашем случае $a=b$ и $b=2$, поэтому:

$b^2 - 4b + 4 = b^2 - 2 \cdot b \cdot 2 + 2^2 = (b - 2)^2$

Подставим это выражение обратно в уравнение:

$y^2 = (b - 2)^2$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что корень из квадрата выражения равен модулю этого выражения, что дает два возможных решения:

$y = \pm \sqrt{(b - 2)^2}$

$y = \pm (b - 2)$

Таким образом, получаем два корня:

$y_1 = b - 2$

$y_2 = -(b - 2) = 2 - b$

Ответ: $y = b - 2$ или $y = 2 - b$.

б) $c^2 - \frac{2c}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{9}y^2 = 0$

Сначала перенесем член, содержащий $y^2$, в правую часть уравнения, чтобы выразить его:

$c^2 - \frac{2c}{3} + \frac{1}{9} = \frac{1}{9}y^2$

Рассмотрим левую часть уравнения. Она также является полным квадратом разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

В данном случае $a=c$ и $b=\frac{1}{3}$, поэтому:

$c^2 - \frac{2c}{3} + \frac{1}{9} = c^2 - 2 \cdot c \cdot \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2 = (c - \frac{1}{3})^2$

Теперь уравнение принимает вид:

$(c - \frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}y^2$

Домножим обе части уравнения на 9, чтобы избавиться от знаменателя в правой части:

$9(c - \frac{1}{3})^2 = y^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$y = \pm \sqrt{9(c - \frac{1}{3})^2}$

$y = \pm 3(c - \frac{1}{3})$

Раскроем скобки для каждого из двух решений:

$y_1 = 3(c - \frac{1}{3}) = 3c - 3 \cdot \frac{1}{3} = 3c - 1$

$y_2 = -3(c - \frac{1}{3}) = -3c + 3 \cdot \frac{1}{3} = -3c + 1 = 1 - 3c$

Ответ: $y = 3c - 1$ или $y = 1 - 3c$.