Номер 5, страница 91, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

18. Неполные квадратные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 5, страница 91.

Условие.

5. Укажите с помощью стрелок, сколько корней имеет уравнение.

$x^2 = -3x$

$2x^2 + 9 = 0$

$0.3x^2 = 0$

два корня

один корень

нет корней

$5x^2 = 0$

$0.1x^2 - 10 = 0$

$x^2 + 16 = 0$

Решение.

Решение 2.

Чтобы определить количество корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, можно использовать дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих корня).
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

$x^2 = -3x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 + 3x = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 3) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, у нас есть два случая:
1) $x_1 = 0$
2) $x + 3 = 0 \implies x_2 = -3$
Уравнение имеет два различных корня: 0 и -3.
Альтернативно, можно вычислить дискриминант $D = b^2 - 4ac$. Для уравнения $x^2 + 3x = 0$ коэффициенты равны $a=1$, $b=3$, $c=0$.
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 9 - 0 = 9$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.

Ответ: два корня.

$2x^2 + 9 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Попробуем выразить $x^2$:
$2x^2 = -9$
$x^2 = -\frac{9}{2}$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Так как правая часть уравнения отрицательна, а левая ($x^2$) неотрицательна, то уравнение не имеет действительных корней.
Альтернативно, вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$. Для уравнения $2x^2 + 0x + 9 = 0$ коэффициенты $a=2$, $b=0$, $c=9$.
$D = 0^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 0 - 72 = -72$
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.

$0,3x^2 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Разделим обе части на 0,3:
$x^2 = \frac{0}{0.3}$
$x^2 = 0$
Единственное число, квадрат которого равен нулю, — это ноль.
$x = 0$
Уравнение имеет один корень.
Альтернативно, вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$. Для уравнения $0.3x^2 + 0x + 0 = 0$ коэффициенты $a=0.3$, $b=0$, $c=0$.
$D = 0^2 - 4 \cdot 0.3 \cdot 0 = 0$
Так как $D = 0$, уравнение имеет один корень.

Ответ: один корень.

$5x^2 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Разделим обе части на 5:
$x^2 = \frac{0}{5}$
$x^2 = 0$
Единственное число, квадрат которого равен нулю, — это ноль.
$x = 0$
Уравнение имеет ровно один корень.
Используя дискриминант для $5x^2 + 0x + 0 = 0$: $a=5$, $b=0$, $c=0$.
$D = 0^2 - 4 \cdot 5 \cdot 0 = 0$
Так как $D = 0$, уравнение имеет один корень.

Ответ: один корень.

$0,1x^2 - 10 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Выразим $x^2$:
$0.1x^2 = 10$
Умножим обе части на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$x^2 = 100$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{100}$
$x_1 = 10$ и $x_2 = -10$
Уравнение имеет два различных корня.
Используя дискриминант для $0.1x^2 + 0x - 10 = 0$: $a=0.1$, $b=0$, $c=-10$.
$D = 0^2 - 4 \cdot 0.1 \cdot (-10) = 0 + 4 = 4$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.

Ответ: два корня.

$x^2 + 16 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Попробуем выразить $x^2$:
$x^2 = -16$
Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной ($x^2 \ge 0$). Следовательно, он не может быть равен -16.
Уравнение не имеет действительных корней.
Используя дискриминант для $x^2 + 0x + 16 = 0$: $a=1$, $b=0$, $c=16$.
$D = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 0 - 64 = -64$
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.