Номер 14, страница 89, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

17. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 14, страница 89.

Условие.

14. Докажите, что выражение $\sqrt{57-40\sqrt{2}}-\sqrt{57+40\sqrt{2}}$ имеет смысл, и найдите его значение.

Так как $\sqrt{2}<1,42$, то .........

Найдём квадрат данного выражения:

$(\sqrt{57-40\sqrt{2}}-\sqrt{57+40\sqrt{2}})^2 = .........$

Так как $\sqrt{57-40\sqrt{2}}-\sqrt{57+40\sqrt{2}}$ □ 0, то .........

Решение.

Решение 2.

Так как $\sqrt{2}<1,42$, то

сначала докажем, что выражение имеет смысл. Для этого необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательными.

1. Выражение $57+40\sqrt{2}$ очевидно положительно как сумма положительных чисел.

2. Для выражения $57-40\sqrt{2}$ используем данное в условии неравенство: если $\sqrt{2}<1,42$, то $40\sqrt{2} < 40 \cdot 1,42 = 56,8$.

Поскольку $57 > 56,8$, то $57 > 40\sqrt{2}$, откуда следует, что $57-40\sqrt{2} > 0$.

Так как оба подкоренных выражения положительны, то исходное выражение имеет смысл.

Найдём квадрат данного выражения:

Пусть $X = \sqrt{57-40\sqrt{2}}-\sqrt{57+40\sqrt{2}}$.

$X^2 = (\sqrt{57-40\sqrt{2}}-\sqrt{57+40\sqrt{2}})^2$

Применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$X^2 = (\sqrt{57-40\sqrt{2}})^2 - 2\sqrt{57-40\sqrt{2}}\sqrt{57+40\sqrt{2}} + (\sqrt{57+40\sqrt{2}})^2$

$X^2 = (57-40\sqrt{2}) - 2\sqrt{(57-40\sqrt{2})(57+40\sqrt{2})} + (57+40\sqrt{2})$

$X^2 = 57 - 40\sqrt{2} + 57 + 40\sqrt{2} - 2\sqrt{57^2 - (40\sqrt{2})^2}$

$X^2 = 114 - 2\sqrt{3249 - 1600 \cdot 2}$

$X^2 = 114 - 2\sqrt{3249 - 3200}$

$X^2 = 114 - 2\sqrt{49} = 114 - 2 \cdot 7 = 114 - 14 = 100$.

Из $X^2 = 100$ следует, что $X = 10$ или $X = -10$.

Так как $\sqrt{57-40\sqrt{2}}-\sqrt{57+40\sqrt{2}} < 0$, то

значение выражения должно быть отрицательным. Это следует из сравнения подкоренных выражений: $57-40\sqrt{2} < 57+40\sqrt{2}$. Поскольку функция квадратного корня возрастающая, то и $\sqrt{57-40\sqrt{2}} < \sqrt{57+40\sqrt{2}}$. Следовательно, их разность отрицательна.

Таким образом, из двух возможных значений ($10$ и $-10$) мы должны выбрать отрицательное.

Ответ: $-10$