Номер 9, страница 87, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

17. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 9, страница 87.

Условие.

9. Найдите значение выражения:

a) $\sqrt{12-2\sqrt{27}} \cdot \sqrt{12+6\sqrt{3}} = .................

б) $\sqrt{8+2\sqrt{7}} \cdot \sqrt{8-\sqrt{28}} = .................

Решение.

Решение 2.

a)

Сначала упростим выражение в первом множителе. Для этого вынесем множитель из-под знака корня в слагаемом $2\sqrt{27}$:
$2\sqrt{27} = 2\sqrt{9 \cdot 3} = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.

После упрощения исходное выражение принимает вид:
$\sqrt{12-6\sqrt{3}}\cdot\sqrt{12+6\sqrt{3}}$.

Воспользуемся свойством произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ и объединим множители под одним знаком корня:
$\sqrt{(12-6\sqrt{3})(12+6\sqrt{3})}$.

Выражение под корнем является произведением разности и суммы двух чисел, что соответствует формуле разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, где $x=12$ и $y=6\sqrt{3}$. Выполним вычисление:
$12^2 - (6\sqrt{3})^2 = 144 - (6^2 \cdot (\sqrt{3})^2) = 144 - (36 \cdot 3) = 144 - 108 = 36$.

Теперь найдем значение исходного выражения:
$\sqrt{36} = 6$.
Ответ: 6

б)

Упростим выражение во втором множителе. Для этого вынесем множитель из-под знака корня в слагаемом $\sqrt{28}$:
$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$.

После упрощения исходное выражение принимает вид:
$\sqrt{8+2\sqrt{7}}\cdot\sqrt{8-2\sqrt{7}}$.

Воспользуемся свойством произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ и объединим множители под одним знаком корня:
$\sqrt{(8+2\sqrt{7})(8-2\sqrt{7})}$.

Выражение под корнем является произведением суммы и разности двух чисел, что соответствует формуле разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x=8$ и $y=2\sqrt{7}$. Выполним вычисление:
$8^2 - (2\sqrt{7})^2 = 64 - (2^2 \cdot (\sqrt{7})^2) = 64 - (4 \cdot 7) = 64 - 28 = 36$.

Теперь найдем значение исходного выражения:
$\sqrt{36} = 6$.
Ответ: 6