Номер 4, страница 85, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

17. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 4, страница 85.

Условие.

4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) $\frac{1}{\sqrt{6}-2}=$

б) $\frac{10}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}=$

в) $\frac{12}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=$

г) $\frac{36 (a-b)}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=$

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе, нужно умножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным к выражению $\sqrt{6}-2$ является $\sqrt{6}+2$.

$\frac{1}{\sqrt{6}-2} = \frac{1 \cdot (\sqrt{6}+2)}{(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)}$

В знаменателе применяем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:

$(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2) = (\sqrt{6})^2 - 2^2 = 6 - 4 = 2$

В результате получаем:

$\frac{\sqrt{6}+2}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}+2}{2}$

б) Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным к выражению $\sqrt{7}+\sqrt{2}$ является $\sqrt{7}-\sqrt{2}$.

$\frac{10}{\sqrt{7}+\sqrt{2}} = \frac{10 \cdot (\sqrt{7}-\sqrt{2})}{(\sqrt{7}+\sqrt{2})(\sqrt{7}-\sqrt{2})}$

Применяем формулу разности квадратов к знаменателю:

$(\sqrt{7}+\sqrt{2})(\sqrt{7}-\sqrt{2}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2})^2 = 7 - 2 = 5$

Подставляем полученное значение в знаменатель и сокращаем дробь:

$\frac{10(\sqrt{7}-\sqrt{2})}{5} = 2(\sqrt{7}-\sqrt{2})$

Ответ: $2(\sqrt{7}-\sqrt{2})$

в) Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным к выражению $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ является $\sqrt{x}-\sqrt{y}$.

$\frac{12}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = \frac{12 \cdot (\sqrt{x}-\sqrt{y})}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})}$

Применяем формулу разности квадратов к знаменателю:

$(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y}) = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = x - y$

В результате получаем:

$\frac{12(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{x-y}$

Ответ: $\frac{12(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{x-y}$

г) Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным к выражению $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ является $\sqrt{a}+\sqrt{b}$.

$\frac{36(a-b)}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \frac{36(a-b)(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}$

Применяем формулу разности квадратов к знаменателю:

$(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a-b$

Подставляем полученное значение в знаменатель:

$\frac{36(a-b)(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b}$

Сокращаем дробь на $(a-b)$:

$36(\sqrt{a}+\sqrt{b})$

Ответ: $36(\sqrt{a}+\sqrt{b})$