Номер 12, страница 84, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

16. Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 12, страница 84.

Условие.

12. Сравните значения выражений:

а) $4a\sqrt{a^5}$ и $2a\sqrt{4a^7}$ при $a > 1$;

б) $b^2\sqrt{b}$ и $b\sqrt{b^5}$ при $0 < b < 1$.

Решение.

Решение 2.

а) Сравним значения выражений $4a\sqrt{a^5}$ и $2a\sqrt{4a^7}$ при $a > 1$.

Для того чтобы сравнить эти два выражения, преобразуем их к более простому виду. Так как по условию $a > 1$, то $a$ является положительным числом, и мы можем выполнять преобразования, вынося множители из-под знака корня.

Упростим первое выражение:
$4a\sqrt{a^5} = 4a\sqrt{a^4 \cdot a} = 4a \cdot \sqrt{(a^2)^2} \cdot \sqrt{a} = 4a \cdot a^2\sqrt{a} = 4a^3\sqrt{a}$.

Упростим второе выражение:
$2a\sqrt{4a^7} = 2a\sqrt{4 \cdot a^6 \cdot a} = 2a \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{(a^3)^2} \cdot \sqrt{a} = 2a \cdot 2 \cdot a^3\sqrt{a} = 4a^4\sqrt{a}$.

Теперь сравним полученные выражения: $4a^3\sqrt{a}$ и $4a^4\sqrt{a}$.
Поскольку $a > 1$, общий множитель $4\sqrt{a}$ является положительным. Значит, сравнение исходных выражений сводится к сравнению множителей $a^3$ и $a^4$.

Так как $a > 1$, то при умножении этого неравенства на положительное число $a^3$ знак неравенства не изменится:
$a \cdot a^3 > 1 \cdot a^3$
$a^4 > a^3$.

Отсюда следует, что $4a^4\sqrt{a} > 4a^3\sqrt{a}$, и, следовательно, $2a\sqrt{4a^7} > 4a\sqrt{a^5}$.

Ответ: $4a\sqrt{a^5} < 2a\sqrt{4a^7}$.

---

б) Сравним значения выражений $b^2\sqrt{b}$ и $b\sqrt{b^5}$ при $0 < b < 1$.

Как и в предыдущем задании, упростим выражения. Условие $0 < b < 1$ означает, что $b$ — положительное число, поэтому преобразования с корнями законны.

Первое выражение $b^2\sqrt{b}$ уже находится в простейшем виде.

Упростим второе выражение:
$b\sqrt{b^5} = b\sqrt{b^4 \cdot b} = b \cdot \sqrt{(b^2)^2} \cdot \sqrt{b} = b \cdot b^2\sqrt{b} = b^3\sqrt{b}$.

Теперь необходимо сравнить выражения $b^2\sqrt{b}$ и $b^3\sqrt{b}$.
Так как $0 < b < 1$, общий множитель $\sqrt{b}$ положителен. Следовательно, мы можем сравнить множители $b^2$ и $b^3$.

Из условия $0 < b < 1$ следует, что $b$ — это положительное число, меньшее единицы (правильная дробь). При возведении такого числа в большую степень результат уменьшается.
Формально: возьмем неравенство $b < 1$ и умножим обе его части на положительное число $b^2$:
$b \cdot b^2 < 1 \cdot b^2$
$b^3 < b^2$.

Таким образом, $b^3\sqrt{b} < b^2\sqrt{b}$, а значит $b\sqrt{b^5} < b^2\sqrt{b}$.

Ответ: $b^2\sqrt{b} > b\sqrt{b^5}$.