Номер 13, страница 84, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

16. Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 13, страница 84.

Условие.

13. Сравните:

а) $a^3\sqrt{a^3}$ и $\sqrt{a^{10}}$ при $a > 1$;

б) $y^4\sqrt{y^6}$ и $y^{15}$ при $y < -6$.

Решение.

Решение 2.

а) Сравним выражения $a^3\sqrt{a^3}$ и $\sqrt{a^{10}}$ при условии $a > 1$.
Для этого упростим оба выражения, используя свойства степеней и корней.

Первое выражение: $a^3\sqrt{a^3}$.
Представим корень как степень с рациональным показателем: $\sqrt{a^3} = a^{3/2}$.
Тогда выражение примет вид: $a^3 \cdot a^{3/2}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^3 \cdot a^{3/2} = a^{3 + 3/2} = a^{6/2 + 3/2} = a^{9/2}$.

Второе выражение: $\sqrt{a^{10}}$.
Поскольку $a > 1$, то $a$ положительно, и мы можем записать: $\sqrt{a^{10}} = \sqrt{(a^5)^2} = |a^5|$. Так как $a^5$ также положительно, $|a^5| = a^5$.
Таким образом, $\sqrt{a^{10}} = a^5$.

Теперь сравним полученные выражения: $a^{9/2}$ и $a^5$.
Сравним их показатели: $9/2$ и $5$.
Так как $9/2 = 4.5$, то $4.5 < 5$, следовательно, $9/2 < 5$.
Поскольку основание степени $a > 1$, степенная функция $f(x) = a^x$ является возрастающей. Это значит, что для двух показателей $x_1$ и $x_2$, если $x_1 < x_2$, то $a^{x_1} < a^{x_2}$.
Так как $9/2 < 5$, то $a^{9/2} < a^5$.
Следовательно, $a^3\sqrt{a^3} < \sqrt{a^{10}}$.

Ответ: $a^3\sqrt{a^3} < \sqrt{a^{10}}$

б) Сравним выражения $y^4\sqrt[4]{y^6}$ и $y^{15}$ при условии $y < -6$.
Для сравнения этих выражений проанализируем их знаки.

Первое выражение: $y^4\sqrt[4]{y^6}$.
Множитель $y^4$: так как показатель степени (4) четный, $y^4$ будет положительным для любого ненулевого $y$. При $y < -6$, $y^4 > 0$.
Множитель $\sqrt[4]{y^6}$: выражение под корнем $y^6$ имеет четный показатель (6), поэтому $y^6 > 0$. Арифметический корень четной степени (4) из положительного числа всегда является положительным числом. Значит, $\sqrt[4]{y^6} > 0$.
Произведение двух положительных чисел ($y^4$ и $\sqrt[4]{y^6}$) есть число положительное.
Таким образом, $y^4\sqrt[4]{y^6} > 0$.

Второе выражение: $y^{15}$.
Основание степени $y$ по условию является отрицательным числом ($y < -6$). Показатель степени (15) — нечетное число.
При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат будет отрицательным.
Таким образом, $y^{15} < 0$.

Сравнивая первое и второе выражения, мы видим, что $y^4\sqrt[4]{y^6}$ — положительное число, а $y^{15}$ — отрицательное. Любое положительное число больше любого отрицательного.
Следовательно, $y^4\sqrt[4]{y^6} > y^{15}$.

Ответ: $y^4\sqrt[4]{y^6} > y^{15}$