Номер 5, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

17. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 5, страница 86.

Условие.

5. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби и найдите с помощью калькулятора её приближённое значение с точностью до 0,01:

a) $\frac{1}{\sqrt{26} - 2} = $

б) $\frac{4}{\sqrt{3} + 1} = $

Решение.

Решение 2.

a) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt{26} - 2} $, необходимо умножить числитель и знаменатель этой дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $ \sqrt{26} + 2 $. В знаменателе применяется формула разности квадратов: $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $.

Выполняем преобразование:

$ \frac{1}{\sqrt{26} - 2} = \frac{1 \cdot (\sqrt{26} + 2)}{(\sqrt{26} - 2)(\sqrt{26} + 2)} = \frac{\sqrt{26} + 2}{(\sqrt{26})^2 - 2^2} = \frac{\sqrt{26} + 2}{26 - 4} = \frac{\sqrt{26} + 2}{22} $.

Мы избавились от иррациональности в знаменателе. Теперь найдем приближенное значение выражения с помощью калькулятора.
Сначала вычислим значение $ \sqrt{26} \approx 5,0990195... $

Подставим это значение в полученную дробь:

$ \frac{\sqrt{26} + 2}{22} \approx \frac{5,0990195 + 2}{22} = \frac{7,0990195}{22} \approx 0,32268... $

Округляем результат с точностью до 0,01 (до сотых): $ 0,32 $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{26} + 2}{22} \approx 0,32 $.

б) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{4}{\sqrt{3} + 1} $, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение, то есть на $ \sqrt{3} - 1 $. Снова используем формулу разности квадратов.

Выполняем преобразование:

$ \frac{4}{\sqrt{3} + 1} = \frac{4(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{4(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{4(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \frac{4(\sqrt{3} - 1)}{2} $.

Сокращаем полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$ 2(\sqrt{3} - 1) $.

Мы избавились от иррациональности. Теперь найдем приближенное значение выражения с помощью калькулятора.
Сначала вычислим значение $ \sqrt{3} \approx 1,73205... $

Подставим это значение в полученное выражение:

$ 2(\sqrt{3} - 1) \approx 2(1,73205 - 1) = 2 \cdot 0,73205 = 1,4641... $

Округляем результат с точностью до 0,01 (до сотых): $ 1,46 $.

Ответ: $ 2(\sqrt{3} - 1) \approx 1,46 $.