Номер 7, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

17. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 7, страница 86.

Условие.

7. Сократите дробь:

а) $\frac{a + \sqrt{7}}{7 - a^2}$

б) $\frac{x - 225}{\sqrt{x} - 15}$

в) $\frac{a - 4b}{\sqrt{a} - 2\sqrt{b}}$

г) $\frac{5\sqrt{a} - 7\sqrt{b}}{25a - 49b}$

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы сократить дробь $ \frac{a + \sqrt{7}}{7 - a^2} $, необходимо разложить знаменатель на множители. Знаменатель $7 - a^2$ является разностью квадратов, так как $7 = (\sqrt{7})^2$. Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$7 - a^2 = (\sqrt{7})^2 - a^2 = (\sqrt{7} - a)(\sqrt{7} + a)$

Теперь подставим разложенный знаменатель обратно в дробь:

$ \frac{a + \sqrt{7}}{7 - a^2} = \frac{a + \sqrt{7}}{(\sqrt{7} - a)(\sqrt{7} + a)} $

Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется ($a + \sqrt{7} = \sqrt{7} + a$), мы можем сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{a + \sqrt{7}}}{(\sqrt{7} - a)\cancel{(\sqrt{7} + a)}} = \frac{1}{\sqrt{7} - a} $

Ответ: $ \frac{1}{\sqrt{7} - a} $

б) Чтобы сократить дробь $ \frac{x - 225}{\sqrt{x} - 15} $, разложим числитель на множители. Числитель $x - 225$ является разностью квадратов, так как $x = (\sqrt{x})^2$ и $225 = 15^2$. Применим формулу разности квадратов:

$x - 225 = (\sqrt{x})^2 - 15^2 = (\sqrt{x} - 15)(\sqrt{x} + 15)$

Подставим полученное выражение в дробь:

$ \frac{x - 225}{\sqrt{x} - 15} = \frac{(\sqrt{x} - 15)(\sqrt{x} + 15)}{\sqrt{x} - 15} $

Сократим общий множитель $(\sqrt{x} - 15)$:

$ \frac{\cancel{(\sqrt{x} - 15)}(\sqrt{x} + 15)}{\cancel{\sqrt{x} - 15}} = \sqrt{x} + 15 $

Ответ: $ \sqrt{x} + 15 $

в) Чтобы сократить дробь $ \frac{a - 4b}{\sqrt{a} - 2\sqrt{b}} $, разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов. Представим числитель $a - 4b$ в виде $(\sqrt{a})^2 - (2\sqrt{b})^2$:

$a - 4b = (\sqrt{a})^2 - (2\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} - 2\sqrt{b})(\sqrt{a} + 2\sqrt{b})$

Подставим разложение в исходную дробь:

$ \frac{a - 4b}{\sqrt{a} - 2\sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a} - 2\sqrt{b})(\sqrt{a} + 2\sqrt{b})}{\sqrt{a} - 2\sqrt{b}} $

Сократим общий множитель $(\sqrt{a} - 2\sqrt{b})$:

$ \frac{\cancel{(\sqrt{a} - 2\sqrt{b})}(\sqrt{a} + 2\sqrt{b})}{\cancel{\sqrt{a} - 2\sqrt{b}}} = \sqrt{a} + 2\sqrt{b} $

Ответ: $ \sqrt{a} + 2\sqrt{b} $

г) Чтобы сократить дробь $ \frac{5\sqrt{a} - 7\sqrt{b}}{25a - 49b} $, разложим знаменатель на множители. Знаменатель $25a - 49b$ является разностью квадратов, так как $25a = (5\sqrt{a})^2$ и $49b = (7\sqrt{b})^2$. Применим формулу разности квадратов:

$25a - 49b = (5\sqrt{a})^2 - (7\sqrt{b})^2 = (5\sqrt{a} - 7\sqrt{b})(5\sqrt{a} + 7\sqrt{b})$

Подставим это выражение в дробь:

$ \frac{5\sqrt{a} - 7\sqrt{b}}{25a - 49b} = \frac{5\sqrt{a} - 7\sqrt{b}}{(5\sqrt{a} - 7\sqrt{b})(5\sqrt{a} + 7\sqrt{b})} $

Сократим общий множитель $(5\sqrt{a} - 7\sqrt{b})$:

$ \frac{\cancel{5\sqrt{a} - 7\sqrt{b}}}{\cancel{(5\sqrt{a} - 7\sqrt{b})}(5\sqrt{a} + 7\sqrt{b})} = \frac{1}{5\sqrt{a} + 7\sqrt{b}} $

Ответ: $ \frac{1}{5\sqrt{a} + 7\sqrt{b}} $