Номер 13, страница 88, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

17. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 13, страница 88.

Условие.

13. Докажите,

что при $x = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$ значение многочлена $4x^3 - 8x^2 + 2x + 3$ равно 1.

Решение.

Решение 2.

Для доказательства утверждения найдем многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является заданное число $x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$. Для этого выполним следующие преобразования.

Начнем с исходного равенства:

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$2x = 1 + \sqrt{3}$

Перенесем 1 в левую часть, чтобы изолировать радикал:

$2x - 1 = \sqrt{3}$

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат, чтобы избавиться от иррациональности:

$(2x - 1)^2 = (\sqrt{3})^2$

$4x^2 - 4x + 1 = 3$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$4x^2 - 4x - 2 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$2x^2 - 2x - 1 = 0$

Таким образом, мы установили, что при заданном значении $x$ выражение $2x^2 - 2x - 1$ обращается в нуль.

Теперь рассмотрим исходный многочлен $P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 2x + 3$. Разделим его на многочлен $2x^2 - 2x - 1$ (например, с помощью деления столбиком), чтобы представить $P(x)$ через него.

В результате деления получаем тождество:

$4x^3 - 8x^2 + 2x + 3 = (2x - 2)(2x^2 - 2x - 1) + 1$

Теперь подставим в это тождество значение $x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$. Мы уже знаем, что для этого $x$ выполняется равенство $2x^2 - 2x - 1 = 0$.

Значение многочлена равно:

$(2x - 2) \cdot 0 + 1 = 0 + 1 = 1$

Следовательно, мы доказали, что при $x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ значение многочлена $4x^3 - 8x^2 + 2x + 3$ равно 1.

Ответ: 1