Номер 6, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

17. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 6, страница 86.

Условие.

6. Преобразуйте выражение:

a) $(12-\sqrt{3})^2+12\sqrt{12} = $

б) $(\sqrt{6}+2\sqrt{2})^2-2\sqrt{48} = $

в) $(3\sqrt{5}+\sqrt{7})(\sqrt{7}-3\sqrt{5}) = $

г) $(5\sqrt{3}+6\sqrt{2})(6\sqrt{2}-5\sqrt{3}) = $

Решение.

Решение 2.

а) $(12-\sqrt{3})^2+12\sqrt{12}$

1. Для раскрытия скобок воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(12-\sqrt{3})^2 = 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 144 - 24\sqrt{3} + 3 = 147 - 24\sqrt{3}$.

2. Упростим второе слагаемое, вынеся множитель из-под знака корня:

$12\sqrt{12} = 12\sqrt{4 \cdot 3} = 12 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 12 \cdot 2\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$.

3. Теперь сложим полученные выражения:

$(147 - 24\sqrt{3}) + 24\sqrt{3} = 147 - 24\sqrt{3} + 24\sqrt{3} = 147$.

Ответ: $147$

---

б) $(\sqrt{6}+2\sqrt{2})^2-2\sqrt{48}$

1. Для раскрытия скобок воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(\sqrt{6}+2\sqrt{2})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2 \cdot \sqrt{6} \cdot 2\sqrt{2} + (2\sqrt{2})^2 = 6 + 4\sqrt{12} + 4 \cdot 2 = 14 + 4\sqrt{12}$.

Упростим корень в полученном выражении: $4\sqrt{12} = 4\sqrt{4 \cdot 3} = 4 \cdot 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$.

Таким образом, первая часть выражения равна $14 + 8\sqrt{3}$.

2. Упростим вторую часть выражения:

$2\sqrt{48} = 2\sqrt{16 \cdot 3} = 2 \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$.

3. Выполним вычитание:

$(14 + 8\sqrt{3}) - 8\sqrt{3} = 14 + 8\sqrt{3} - 8\sqrt{3} = 14$.

Ответ: $14$

---

в) $(3\sqrt{5}+\sqrt{7})(\sqrt{7}-3\sqrt{5})$

1. Чтобы воспользоваться формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, поменяем слагаемые в первой скобке местами: $(\sqrt{7}+3\sqrt{5})(\sqrt{7}-3\sqrt{5})$.

2. Теперь применим формулу, где $a = \sqrt{7}$ и $b = 3\sqrt{5}$:

$(\sqrt{7})^2 - (3\sqrt{5})^2 = 7 - (3^2 \cdot (\sqrt{5})^2) = 7 - (9 \cdot 5) = 7 - 45 = -38$.

Ответ: $-38$

---

г) $(5\sqrt{3}+6\sqrt{2})(6\sqrt{2}-5\sqrt{3})$

1. Как и в предыдущем примере, воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. Для этого поменяем слагаемые в первой скобке местами: $(6\sqrt{2}+5\sqrt{3})(6\sqrt{2}-5\sqrt{3})$.

2. Применим формулу, где $a = 6\sqrt{2}$ и $b = 5\sqrt{3}$:

$(6\sqrt{2})^2 - (5\sqrt{3})^2 = (6^2 \cdot (\sqrt{2})^2) - (5^2 \cdot (\sqrt{3})^2) = (36 \cdot 2) - (25 \cdot 3) = 72 - 75 = -3$.

Ответ: $-3$