Номер 2, страница 85, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

17. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 2, страница 85.

Условие.

2. Сократите дробь:

a) $\frac{\sqrt{28}-\sqrt{8}}{\sqrt{7}-\sqrt{2}} =$

б) $\frac{\sqrt{60}+\sqrt{20}}{\sqrt{45}+\sqrt{135}} =$

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы сократить данную дробь, необходимо упростить выражения в числителе и знаменателе. Начнем с числителя. Разложим подкоренные выражения на множители так, чтобы можно было вынести множитель из-под знака корня.
Упростим корень из 28: $ \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{7} = 2\sqrt{7} $.
Упростим корень из 8: $ \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2} $.
Теперь подставим полученные значения обратно в числитель дроби:
$ \frac{\sqrt{28} - \sqrt{8}}{\sqrt{7} - \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{7} - 2\sqrt{2}}{\sqrt{7} - \sqrt{2}} $
Вынесем общий множитель 2 в числителе за скобки:
$ \frac{2(\sqrt{7} - \sqrt{2})}{\sqrt{7} - \sqrt{2}} $
Теперь мы видим, что выражение $ (\sqrt{7} - \sqrt{2}) $ есть и в числителе, и в знаменателе. Сократим дробь на это выражение:
$ \frac{2\cancel{(\sqrt{7} - \sqrt{2})}}{\cancel{(\sqrt{7} - \sqrt{2})}} = 2 $
Ответ: 2

б) Поступим аналогичным образом. Упростим каждый корень в дроби, вынося множитель из-под знака корня.
Упростим корни в числителе:
$ \sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15} $
$ \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} $
Упростим корни в знаменателе:
$ \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5} $
$ \sqrt{135} = \sqrt{9 \cdot 15} = 3\sqrt{15} $
Подставим упрощенные значения в исходную дробь:
$ \frac{\sqrt{60} + \sqrt{20}}{\sqrt{45} + \sqrt{135}} = \frac{2\sqrt{15} + 2\sqrt{5}}{3\sqrt{5} + 3\sqrt{15}} $
Теперь вынесем общие множители в числителе и знаменателе.
В числителе общий множитель $ 2 $, но для дальнейшего сокращения удобнее вынести $ 2\sqrt{5} $:
$ 2\sqrt{15} + 2\sqrt{5} = 2\sqrt{3 \cdot 5} + 2\sqrt{5} = 2\sqrt{3}\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 2\sqrt{5}(\sqrt{3} + 1) $
В знаменателе общий множитель $ 3 $, но вынесем $ 3\sqrt{5} $:
$ 3\sqrt{5} + 3\sqrt{15} = 3\sqrt{5} + 3\sqrt{5 \cdot 3} = 3\sqrt{5} + 3\sqrt{5}\sqrt{3} = 3\sqrt{5}(1 + \sqrt{3}) $
Запишем дробь с вынесенными множителями:
$ \frac{2\sqrt{5}(\sqrt{3} + 1)}{3\sqrt{5}(1 + \sqrt{3})} $
Сократим дробь на общие множители $ \sqrt{5} $ и $ (\sqrt{3} + 1) $:
$ \frac{2\cancel{\sqrt{5}}\cancel{(\sqrt{3} + 1)}}{3\cancel{\sqrt{5}}\cancel{(1 + \sqrt{3})}} = \frac{2}{3} $
Ответ: $ \frac{2}{3} $