Номер 11, страница 83, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

16. Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 11, страница 83.

Условие.

11. Вынесите множитель из-под знака корня:

а) если $b \ge 0$, то $\sqrt{b^9} = $

б) если $a \ge 6$, то $\sqrt{(a-6)^3} = $

в) если $a \ge 0$, то $\sqrt{a^{2m+3}} = $

г) если $b \le 4$, то $\sqrt{(4-b)^5} = $

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{b^9}$, необходимо представить подкоренное выражение в виде произведения, где один из множителей является степенью с максимально возможным четным показателем.
Представим $b^9$ как $b^8 \cdot b$. Тогда выражение примет вид:
$\sqrt{b^9} = \sqrt{b^8 \cdot b}$
Используя свойство корня из произведения ($\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$), получаем:
$\sqrt{b^8 \cdot b} = \sqrt{b^8} \cdot \sqrt{b}$
Так как $\sqrt{b^8} = \sqrt{(b^4)^2} = |b^4| = b^4$ (поскольку любое число в четной степени неотрицательно), и по условию $b \geq 0$, то преобразование корректно.
В итоге получаем: $b^4\sqrt{b}$.
Ответ: $b^4\sqrt{b}$

б) Рассмотрим выражение $\sqrt{(a-6)^3}$. По условию $a \geq 6$, следовательно, разность $a-6$ неотрицательна, то есть $a-6 \geq 0$. Это гарантирует, что подкоренное выражение определено.
Представим степень $(a-6)^3$ как произведение $(a-6)^2 \cdot (a-6)$:
$\sqrt{(a-6)^3} = \sqrt{(a-6)^2 \cdot (a-6)}$
Применяем свойство корня из произведения:
$\sqrt{(a-6)^2 \cdot (a-6)} = \sqrt{(a-6)^2} \cdot \sqrt{a-6}$
Поскольку $a-6 \geq 0$, то $\sqrt{(a-6)^2} = |a-6| = a-6$.
Таким образом, получаем: $(a-6)\sqrt{a-6}$.
Ответ: $(a-6)\sqrt{a-6}$

в) Рассмотрим выражение $\sqrt{a^{2m+3}}$. По условию $a \geq 0$. Предполагается, что $m$ - целое неотрицательное число.
Чтобы вынести множитель, представим показатель степени $2m+3$ в виде суммы максимального четного числа и оставшейся части: $2m+3 = (2m+2) + 1$.
Тогда подкоренное выражение можно переписать:
$a^{2m+3} = a^{2m+2} \cdot a = a^{2(m+1)} \cdot a$
Теперь извлечем корень:
$\sqrt{a^{2m+3}} = \sqrt{a^{2(m+1)} \cdot a} = \sqrt{a^{2(m+1)}} \cdot \sqrt{a}$
Так как $\sqrt{a^{2(m+1)}} = \sqrt{(a^{m+1})^2} = |a^{m+1}|$, и по условию $a \geq 0$, то $a^{m+1} \geq 0$, и модуль можно опустить: $|a^{m+1}| = a^{m+1}$.
Окончательный результат: $a^{m+1}\sqrt{a}$.
Ответ: $a^{m+1}\sqrt{a}$

г) Рассмотрим выражение $\sqrt{(4-b)^5}$. По условию $b \leq 4$, что означает $4-b \geq 0$. Следовательно, выражение под корнем неотрицательно.
Представим степень $(4-b)^5$ в виде произведения $(4-b)^4 \cdot (4-b)$:
$\sqrt{(4-b)^5} = \sqrt{(4-b)^4 \cdot (4-b)}$
Используем свойство корня из произведения:
$\sqrt{(4-b)^4 \cdot (4-b)} = \sqrt{(4-b)^4} \cdot \sqrt{4-b}$
Упростим первый множитель: $\sqrt{(4-b)^4} = \sqrt{((4-b)^2)^2} = |(4-b)^2| = (4-b)^2$, так как квадрат любого выражения всегда неотрицателен.
В итоге получаем: $(4-b)^2\sqrt{4-b}$.
Ответ: $(4-b)^2\sqrt{4-b}$