Номер 6, страница 81, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

16. Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 6, страница 81.

Условие.

6. При каких значениях переменной верно равенство:

а) $a\sqrt{7} = \sqrt{7a^2}$;

б) $3p\sqrt{-p} = \sqrt{-9p^3}$;

в) $-y^3\sqrt{y} = -\sqrt{y^7}$;

г) $0,1m^2\sqrt{m^5} = \sqrt{0,01m^9}$ ?

Ответ: а) ................. б) ................. в) ................. г) .................

Решение.

Решение 2.

а) $a\sqrt{7} = \sqrt{7a^2}$

Равенство будет верным, если мы сможем внести множитель $a$ под знак корня. Правило внесения множителя под знак квадратного корня гласит: $x\sqrt{y} = \sqrt{x^2y}$ только при условии, что $x \ge 0$.
В данном случае множитель перед корнем — это переменная $a$. Правая часть равенства $\sqrt{7a^2}$ существует при любом значении $a$, так как $a^2$ всегда неотрицательно.
Чтобы равенство $a\sqrt{7} = \sqrt{a^2 \cdot 7}$ было верным, необходимо, чтобы множитель $a$ был неотрицательным.
Другой способ рассуждения:
Преобразуем правую часть: $\sqrt{7a^2} = \sqrt{7}\sqrt{a^2} = \sqrt{7}|a|$.
Тогда исходное равенство принимает вид: $a\sqrt{7} = \sqrt{7}|a|$.
Сократив обе части на $\sqrt{7}$, получим: $a = |a|$.
Это равенство верно только для всех неотрицательных чисел.
Следовательно, равенство выполняется при $a \ge 0$.
Ответ: $a \ge 0$.

б) $3p\sqrt{-p} = \sqrt{-9p^3}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $p$.
1. Для левой части $3p\sqrt{-p}$: подкоренное выражение $-p$ должно быть неотрицательным, то есть $-p \ge 0$, что означает $p \le 0$.
2. Для правой части $\sqrt{-9p^3}$: подкоренное выражение $-9p^3$ должно быть неотрицательным, то есть $-9p^3 \ge 0$. Разделив на -9 (и изменив знак неравенства), получим $p^3 \le 0$, что также означает $p \le 0$.
Таким образом, ОДЗ для всего равенства: $p \le 0$.
Теперь проанализируем знаки обеих частей равенства.
Правая часть $\sqrt{-9p^3}$ является арифметическим квадратным корнем, поэтому ее значение всегда неотрицательно (больше или равно нулю).
Рассмотрим левую часть $3p\sqrt{-p}$ при $p < 0$. Множитель $3p$ будет отрицательным, а множитель $\sqrt{-p}$ — положительным. Произведение отрицательного и положительного чисел является отрицательным числом.
Получается, что для $p < 0$ левая часть равенства отрицательна, а правая — положительна. Равенство в этом случае невозможно.
Равенство вида (отрицательное число) = (положительное число) неверно. Равенство может выполняться только в том случае, если обе части равны нулю.
Левая часть $3p\sqrt{-p}$ равна нулю при $p=0$.
Правая часть $\sqrt{-9p^3}$ равна нулю при $p=0$.
Таким образом, единственное значение переменной, при котором равенство верно, это $p=0$.
Ответ: $p = 0$.

в) $-y^3\sqrt{y} = -\sqrt{y^7}$

Определим ОДЗ: подкоренные выражения $y$ и $y^7$ должны быть неотрицательными.
1. $y \ge 0$.
2. $y^7 \ge 0$, что также означает $y \ge 0$.
ОДЗ: $y \ge 0$.
Умножим обе части равенства на -1: $y^3\sqrt{y} = \sqrt{y^7}$.
Теперь внесем множитель $y^3$ под знак корня. Так как по ОДЗ $y \ge 0$, то и $y^3 \ge 0$. Значит, мы можем использовать правило $x\sqrt{z} = \sqrt{x^2z}$ для неотрицательного $x$.
$y^3\sqrt{y} = \sqrt{(y^3)^2 \cdot y} = \sqrt{y^6 \cdot y} = \sqrt{y^7}$.
Мы получили тождество $\sqrt{y^7} = \sqrt{y^7}$, которое верно для всех значений $y$ из области допустимых значений.
Следовательно, исходное равенство верно при всех $y \ge 0$.
Ответ: $y \ge 0$.

г) $0.1m^2\sqrt{m^5} = \sqrt{0.01m^9}$

Определим ОДЗ для переменной $m$.
1. Для $\sqrt{m^5}$ необходимо $m^5 \ge 0$, что означает $m \ge 0$.
2. Для $\sqrt{0.01m^9}$ необходимо $m^9 \ge 0$, что также означает $m \ge 0$.
ОДЗ: $m \ge 0$.
Рассмотрим левую часть и внесем множитель $0.1m^2$ под знак корня.
Множитель $0.1m^2$ всегда неотрицателен, так как $m^2 \ge 0$ для любого $m$, и $0.1 > 0$. Поэтому мы можем применить правило внесения множителя под корень без дополнительных условий.
$0.1m^2\sqrt{m^5} = \sqrt{(0.1m^2)^2 \cdot m^5} = \sqrt{0.1^2 \cdot (m^2)^2 \cdot m^5} = \sqrt{0.01 \cdot m^4 \cdot m^5} = \sqrt{0.01m^{4+5}} = \sqrt{0.01m^9}$.
В результате преобразования левой части мы получили правую часть. Это означает, что равенство является тождеством для всех значений $m$, входящих в ОДЗ.
Следовательно, равенство верно при всех $m \ge 0$.
Ответ: $m \ge 0$.