Номер 12, страница 79, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

15. Квадратный корень из степени. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 12, страница 79.

Условие.

12. На рисунке построены графики функций $y = \frac{3\sqrt{x^2}}{x}$, $y = \frac{\sqrt{x^8}}{x}$, $y = \frac{\sqrt{x^4}}{x}$ и $y = \frac{\sqrt{x^4}}{x^2}$. Около каждого графика запишите соответствующую формулу.

$y = \frac{\sqrt{x^4}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x^4}}{x^2}$

$y = \frac{3\sqrt{x^2}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x^8}}{x}$

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы сопоставить графики с соответствующими формулами, необходимо упростить каждую из предложенных функций и проанализировать их поведение.

а)

Рассмотрим график в левом верхнем углу. Это прямая линия, проходящая через начало координат под углом 45 градусов к оси Ох. Уравнение такой прямой — $y=x$. Точка $(0, 0)$ на графике выколота, что означает, что функция не определена при $x=0$.

Проанализируем предложенные функции. Функция, которая упрощается до $y=x$ при $x \neq 0$, — это $y = \frac{\sqrt{x^4}}{x}$.

Упростим ее:

1. Область определения функции (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x \neq 0$.

2. Упростим числитель: $\sqrt{x^4} = \sqrt{(x^2)^2} = x^2$, так как $x^2$ всегда неотрицательно.

3. Подставим упрощенное выражение в исходную формулу: $y = \frac{x^2}{x}$.

4. При $x \neq 0$ мы можем сократить дробь: $y = x$.

Таким образом, график функции $y = \frac{\sqrt{x^4}}{x}$ — это прямая $y=x$ с выколотой точкой в начале координат, что полностью соответствует графику а).

Ответ: $y = \frac{\sqrt{x^4}}{x}$

б)

Рассмотрим график в правом верхнем углу. Это горизонтальная прямая $y=1$. Точка $(0, 1)$ на графике выколота, значит, функция не определена при $x=0$.

Найдем соответствующую функцию. Рассмотрим $y = \frac{\sqrt{x^4}}{x^2}$.

Упростим ее:

1. ОДЗ: $x^2 \neq 0 \implies x \neq 0$.

2. Упростим числитель: $\sqrt{x^4} = x^2$.

3. Подставим в формулу: $y = \frac{x^2}{x^2}$.

4. При $x \neq 0$ дробь равна 1: $y = 1$.

График этой функции — прямая $y=1$ с выколотой точкой $(0, 1)$, что соответствует графику б).

Ответ: $y = \frac{\sqrt{x^4}}{x^2}$

в)

Рассмотрим график в левом нижнем углу. Он состоит из двух частей: горизонтального луча $y=3$ для $x>0$ и горизонтального луча $y=-3$ для $x<0$. В точке $x=0$ функция не определена (точки $(0, 3)$ и $(0, -3)$ выколоты).

Этому графику соответствует функция $y = \frac{3\sqrt{x^2}}{x}$.

Упростим ее:

1. ОДЗ: $x \neq 0$.

2. Упростим выражение под корнем: $\sqrt{x^2} = |x|$ (модуль числа $x$).

3. Функция принимает вид: $y = \frac{3|x|}{x}$.

4. Раскроем модуль для двух случаев:

• Если $x > 0$, то $|x| = x$, и функция становится $y = \frac{3x}{x} = 3$.
• Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция становится $y = \frac{3(-x)}{x} = -3$.

Полученная кусочно-постоянная функция полностью соответствует графику в).

Ответ: $y = \frac{3\sqrt{x^2}}{x}$

г)

Рассмотрим график в правом нижнем углу. Это график функции, похожей на кубическую параболу $y=x^3$. Точка $(0, 0)$ выколота, что означает, что функция не определена в этой точке.

Соответствующая функция — это $y = \frac{\sqrt{x^8}}{x}$.

Упростим ее:

1. ОДЗ: $x \neq 0$.

2. Упростим числитель: $\sqrt{x^8} = \sqrt{(x^4)^2} = x^4$, так как $x^4$ всегда неотрицательно.

3. Подставим в формулу: $y = \frac{x^4}{x}$.

4. При $x \neq 0$ сократим дробь: $y = x^3$.

График функции $y=x^3$ с выколотой точкой в начале координат соответствует графику г).

Ответ: $y = \frac{\sqrt{x^8}}{x}$