Номер 10, страница 78, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

15. Квадратный корень из степени. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 10, страница 78.

Условие.

10. Преобразуйте выражение:

а) $\sqrt{x^8 y^{12}} = \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$

б) если $b > 0$, то $\sqrt{b^{10}c^8} = \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$

в) если $b > 0$, то $\sqrt{\frac{0.49a^4}{b^6}} = \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$

г) если $p \ge 0$, $m > 0$, то $\sqrt{\frac{p^{10}}{16m^6}} = \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы преобразовать выражение $\sqrt{x^8y^{12}}$, используем свойство корня из произведения $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ и свойство корня из степени $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$.
$\sqrt{x^8y^{12}} = \sqrt{x^8} \cdot \sqrt{y^{12}}$
Теперь извлечем корень из каждого множителя:
$\sqrt{x^8} = \sqrt{(x^4)^2} = |x^4|$. Поскольку любое число в четной степени ($x^4$) всегда неотрицательно, то $|x^4| = x^4$.
$\sqrt{y^{12}} = \sqrt{(y^6)^2} = |y^6|$. Аналогично, $y^6$ всегда неотрицательно, поэтому $|y^6| = y^6$.
В результате получаем:
$\sqrt{x^8y^{12}} = x^4y^6$.
Ответ: $x^4y^6$

б) Для преобразования выражения $\sqrt{b^{10}c^8}$ при условии $b > 0$ применим те же свойства, что и в предыдущем пункте.
$\sqrt{b^{10}c^8} = \sqrt{b^{10}} \cdot \sqrt{c^8}$
Рассмотрим каждый множитель отдельно:
$\sqrt{b^{10}} = \sqrt{(b^5)^2} = |b^5|$. По условию $b > 0$, значит и $b^5 > 0$. Следовательно, $|b^5| = b^5$.
$\sqrt{c^8} = \sqrt{(c^4)^2} = |c^4|$. Выражение $c^4$ всегда неотрицательно, поэтому $|c^4| = c^4$.
Объединив результаты, получаем:
$\sqrt{b^{10}c^8} = b^5c^4$.
Ответ: $b^5c^4$

в) Для преобразования выражения $\sqrt{\frac{0,49a^4}{b^6}}$ при условии $b > 0$ используем свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
$\sqrt{\frac{0,49a^4}{b^6}} = \frac{\sqrt{0,49a^4}}{\sqrt{b^6}}$
Преобразуем числитель:
$\sqrt{0,49a^4} = \sqrt{0,49} \cdot \sqrt{a^4} = 0,7 \cdot \sqrt{(a^2)^2} = 0,7|a^2| = 0,7a^2$ (так как $a^2 \ge 0$).
Преобразуем знаменатель:
$\sqrt{b^6} = \sqrt{(b^3)^2} = |b^3|$. По условию $b > 0$, значит $b^3 > 0$. Следовательно, $|b^3| = b^3$.
Итоговое выражение:
$\frac{0,7a^2}{b^3}$.
Ответ: $\frac{0,7a^2}{b^3}$

г) Для преобразования выражения $\sqrt{\frac{p^{10}}{16m^6}}$ при условиях $p \ge 0$ и $m > 0$ используем свойство корня из дроби.
$\sqrt{\frac{p^{10}}{16m^6}} = \frac{\sqrt{p^{10}}}{\sqrt{16m^6}}$
Преобразуем числитель:
$\sqrt{p^{10}} = \sqrt{(p^5)^2} = |p^5|$. По условию $p \ge 0$, значит $p^5 \ge 0$. Следовательно, $|p^5| = p^5$.
Преобразуем знаменатель:
$\sqrt{16m^6} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{m^6} = 4 \cdot \sqrt{(m^3)^2} = 4|m^3|$. По условию $m > 0$, значит $m^3 > 0$. Следовательно, $|m^3| = m^3$, и знаменатель равен $4m^3$.
Объединяем числитель и знаменатель:
$\frac{p^5}{4m^3}$.
Ответ: $\frac{p^5}{4m^3}$