Номер 6, страница 77, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

15. Квадратный корень из степени. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 6, страница 77.

Условие.

6. Упростите выражение:

а) если $a \ge 0$, то $\sqrt{a^6} = \dots$

б) если $p < 0$, то $\sqrt{p^2q^8} = \dots$

в) если $x > 0$, то $\sqrt{49x^2y^{16}} = \dots$

г) если $c < 0$, то $-\sqrt{16c^2d^8} = \dots$

Решение.

Решение 2.

а) если a ≥ 0, то √a⁶ = ...
Для упрощения выражения $\sqrt{a^6}$ воспользуемся свойством квадратного корня $\sqrt{x^{2n}} = |x^n|$. Представим подкоренное выражение в виде квадрата: $a^6 = (a^3)^2$. Тогда $\sqrt{a^6} = \sqrt{(a^3)^2} = |a^3|$. По условию $a \ge 0$. Если основание степени неотрицательно, то и любая его нечетная степень (в данном случае, третья) также неотрицательна. Следовательно, $a^3 \ge 0$. По определению модуля, если выражение под модулем неотрицательно, то модуль равен самому выражению: $|a^3| = a^3$.
Ответ: $a^3$

б) если p < 0, то √p²q⁸ = ...
Упростим выражение $\sqrt{p^2q^8}$. Используем свойство корня из произведения $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$ (для $x \ge 0, y \ge 0$) и свойство $\sqrt{x^2} = |x|$. $\sqrt{p^2q^8} = \sqrt{p^2} \cdot \sqrt{q^8}$. Представим $q^8$ в виде квадрата: $q^8 = (q^4)^2$. Получаем: $\sqrt{p^2} \cdot \sqrt{(q^4)^2} = |p| \cdot |q^4|$. По условию $p < 0$. По определению модуля, $|p| = -p$. Выражение $q^4$ всегда неотрицательно ($q^4 \ge 0$) для любого действительного значения $q$, так как показатель степени четный. Поэтому, $|q^4| = q^4$. Перемножая результаты, получаем: $(-p) \cdot q^4 = -pq^4$.
Ответ: $-pq^4$

в) если x > 0, то √49x²y¹⁶ = ...
Упростим выражение $\sqrt{49x^2y^{16}}$. Разобьем корень на множители: $\sqrt{49x^2y^{16}} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{y^{16}}$. Вычислим каждый множитель: $\sqrt{49} = 7$. $\sqrt{x^2} = |x|$. $\sqrt{y^{16}} = \sqrt{(y^8)^2} = |y^8|$. Итоговое выражение: $7 \cdot |x| \cdot |y^8|$. По условию $x > 0$, следовательно, $|x| = x$. Выражение $y^8$ всегда неотрицательно для любого $y$, так как показатель степени четный. Следовательно, $|y^8| = y^8$. Подставляем полученные значения: $7 \cdot x \cdot y^8 = 7xy^8$.
Ответ: $7xy^8$

г) если c < 0, то -√16c²d⁸ = ...
Упростим выражение $-\sqrt{16c^2d^8}$. Сначала упростим выражение под корнем, а затем учтем знак минуса перед корнем. $\sqrt{16c^2d^8} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{c^2} \cdot \sqrt{d^8} = 4 \cdot |c| \cdot \sqrt{(d^4)^2} = 4 \cdot |c| \cdot |d^4|$. По условию $c < 0$, следовательно, $|c| = -c$. Выражение $d^4$ всегда неотрицательно, так как показатель степени четный. Следовательно, $|d^4| = d^4$. Таким образом, $\sqrt{16c^2d^8} = 4 \cdot (-c) \cdot d^4 = -4cd^4$. Теперь подставим это в исходное выражение с минусом перед корнем: $-(-4cd^4) = 4cd^4$.
Ответ: $4cd^4$