Номер 7, страница 77, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

15. Квадратный корень из степени. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 7, страница 77.

Условие.

7. Преобразуйте выражение:

a) $\sqrt{x^8 + 4x^4 + 4} = $

б) $\sqrt{9 + p^4 + 6p^2} = $

в) $\sqrt{y^{16} + 4y^8 + 4} = $

г) $\sqrt{a^{16} + 1 + 2a^8} = $

д) $\sqrt{m^{12} + 16 - 8m^6} = $

е) $\sqrt{25 - 10n^5 + n^{10}} = $

Решение.

Решение 2.

а) Исходное выражение: $ \sqrt{x^8 + 4x^4 + 4} $.
Подкоренное выражение $ x^8 + 4x^4 + 4 $ представляет собой полный квадрат. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $.
В данном случае, пусть $ a = x^4 $ и $ b = 2 $. Тогда $ a^2 = (x^4)^2 = x^8 $, $ b^2 = 2^2 = 4 $, а удвоенное произведение $ 2ab = 2 \cdot x^4 \cdot 2 = 4x^4 $.
Таким образом, выражение под корнем можно свернуть: $ x^8 + 4x^4 + 4 = (x^4 + 2)^2 $.
Получаем: $ \sqrt{(x^4 + 2)^2} $.
Используя свойство корня $ \sqrt{k^2} = |k| $, имеем $ |x^4 + 2| $.
Так как $ x^4 $ всегда неотрицательно для любого действительного $ x $ ($ x^4 \ge 0 $), то выражение $ x^4 + 2 $ всегда положительно. Следовательно, модуль можно опустить.
Ответ: $ x^4 + 2 $

б) Исходное выражение: $ \sqrt{9 + p^4 + 6p^2} $.
Перепишем выражение под корнем в стандартном порядке: $ p^4 + 6p^2 + 9 $.
Это выражение является полным квадратом суммы $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $.
Пусть $ a = p^2 $ и $ b = 3 $. Тогда $ a^2 = (p^2)^2 = p^4 $, $ b^2 = 3^2 = 9 $, а $ 2ab = 2 \cdot p^2 \cdot 3 = 6p^2 $.
Следовательно, $ p^4 + 6p^2 + 9 = (p^2 + 3)^2 $.
Исходное выражение преобразуется к виду $ \sqrt{(p^2 + 3)^2} = |p^2 + 3| $.
Так как $ p^2 \ge 0 $ для любого действительного $ p $, выражение $ p^2 + 3 $ всегда положительно. Значит, знак модуля можно убрать.
Ответ: $ p^2 + 3 $

в) Исходное выражение: $ \sqrt{y^{16} + 4y^8 + 4} $.
Подкоренное выражение $ y^{16} + 4y^8 + 4 $ является полным квадратом суммы $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $.
Здесь $ a = y^8 $ и $ b = 2 $. Проверяем: $ a^2 = (y^8)^2 = y^{16} $, $ b^2 = 2^2 = 4 $, $ 2ab = 2 \cdot y^8 \cdot 2 = 4y^8 $.
Таким образом, $ y^{16} + 4y^8 + 4 = (y^8 + 2)^2 $.
Получаем: $ \sqrt{(y^8 + 2)^2} = |y^8 + 2| $.
Поскольку степень 8 является четной, $ y^8 \ge 0 $ для любого действительного $ y $. Это означает, что $ y^8 + 2 $ всегда положительно. Модуль можно опустить.
Ответ: $ y^8 + 2 $

г) Исходное выражение: $ \sqrt{a^{16} + 1 + 2a^8} $.
Перепишем подкоренное выражение: $ a^{16} + 2a^8 + 1 $.
Это полный квадрат суммы $ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 $.
Пусть $ x = a^8 $ и $ y = 1 $. Тогда $ x^2 = (a^8)^2 = a^{16} $, $ y^2 = 1^2 = 1 $, $ 2xy = 2 \cdot a^8 \cdot 1 = 2a^8 $.
Следовательно, $ a^{16} + 2a^8 + 1 = (a^8 + 1)^2 $.
Выражение принимает вид $ \sqrt{(a^8 + 1)^2} = |a^8 + 1| $.
Так как $ a^8 \ge 0 $ для любого действительного $ a $, то $ a^8 + 1 $ всегда положительно. Модуль можно убрать.
Ответ: $ a^8 + 1 $

д) Исходное выражение: $ \sqrt{m^{12} + 16 - 8m^6} $.
Перепишем выражение под корнем в стандартном порядке: $ m^{12} - 8m^6 + 16 $.
Это выражение является полным квадратом разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $.
Пусть $ a = m^6 $ и $ b = 4 $. Тогда $ a^2 = (m^6)^2 = m^{12} $, $ b^2 = 4^2 = 16 $, а $ 2ab = 2 \cdot m^6 \cdot 4 = 8m^6 $.
Значит, $ m^{12} - 8m^6 + 16 = (m^6 - 4)^2 $.
Получаем: $ \sqrt{(m^6 - 4)^2} = |m^6 - 4| $.
Выражение $ m^6 - 4 $ может быть как положительным, так и отрицательным (например, при $ m=0 $ оно равно -4, а при $ m=2 $ оно равно 60). Поэтому знак модуля необходимо оставить.
Ответ: $ |m^6 - 4| $

е) Исходное выражение: $ \sqrt{25 - 10n^5 + n^{10}} $.
Перепишем выражение под корнем в стандартном порядке: $ n^{10} - 10n^5 + 25 $.
Это полный квадрат разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $.
Пусть $ a = n^5 $ и $ b = 5 $. Тогда $ a^2 = (n^5)^2 = n^{10} $, $ b^2 = 5^2 = 25 $, а $ 2ab = 2 \cdot n^5 \cdot 5 = 10n^5 $.
Следовательно, $ n^{10} - 10n^5 + 25 = (n^5 - 5)^2 $.
Выражение принимает вид $ \sqrt{(n^5 - 5)^2} = |n^5 - 5| $.
Значение выражения $ n^5 - 5 $ зависит от $ n $ и может быть как положительным, так и отрицательным. Поэтому знак модуля следует сохранить.
Ответ: $ |n^5 - 5| $