Номер 3, страница 76, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

15. Квадратный корень из степени. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 3, страница 76.

Условие.

3. Подчеркните верные равенства:

$ \sqrt{(-12)^8} = (-12)^4; $$ \sqrt{(-7)^6} = (-7)^3; $$ \sqrt{11^8} = (-11)^4; $

$ \sqrt{(-1)^{16}} = (-1)^8; $$ -\sqrt{(-2)^8} = (-2)^4; $$ -\sqrt{(-10)^{14}} = -10^7. $

Решение.

Решение 2.

Для определения верных равенств проанализируем каждое из них, используя свойства степеней и арифметического квадратного корня, в частности, основное свойство $\sqrt{a^2} = |a|$ и, как следствие, $\sqrt{a^{2k}} = |a|^k$.

$\sqrt{(-12)^8} = (-12)^4$

Преобразуем левую часть равенства. Используя свойство $\sqrt{a^{2k}} = |a|^k$, где $a = -12$ и $k = 4$, получаем:
$\sqrt{(-12)^8} = \sqrt{(-12)^{2 \cdot 4}} = |(-12)|^4 = 12^4$.
Теперь преобразуем правую часть. Поскольку показатель степени 4 является четным числом, возведение отрицательного числа в эту степень дает положительный результат:
$(-12)^4 = 12^4$.
Так как левая и правая части равны ($12^4 = 12^4$), равенство является верным.
Ответ: Равенство верное.

$\sqrt{(-7)^6} = (-7)^3$

Преобразуем левую часть равенства по свойству $\sqrt{a^{2k}} = |a|^k$, где $a = -7$ и $k = 3$:
$\sqrt{(-7)^6} = \sqrt{(-7)^{2 \cdot 3}} = |(-7)|^3 = 7^3 = 343$.
Теперь вычислим правую часть. Поскольку показатель степени 3 является нечетным числом, результат будет отрицательным:
$(-7)^3 = -343$.
Левая часть ($343$) не равна правой части ($-343$).
Ответ: Равенство неверное.

$\sqrt{11^8} = (-11)^4$

Преобразуем левую часть. Число под корнем положительное.
$\sqrt{11^8} = \sqrt{(11^4)^2} = 11^4$.
Преобразуем правую часть. Показатель степени 4 — четное число, поэтому:
$(-11)^4 = 11^4$.
Левая и правая части равны.
Ответ: Равенство верное.

$\sqrt{(-1)^{16}} = (-1)^8$

Вычислим левую часть. Сначала выполним возведение в степень под корнем. Так как 16 — четное число, $(-1)^{16} = 1$.
$\sqrt{(-1)^{16}} = \sqrt{1} = 1$.
Теперь вычислим правую часть. Так как 8 — четное число, $(-1)^8 = 1$.
Обе части равны 1.
Ответ: Равенство верное.

$-\sqrt{(-2)^8} = (-2)^4$

Рассмотрим левую часть. Сначала преобразуем корень:
$\sqrt{(-2)^8} = \sqrt{(-2)^{2 \cdot 4}} = |(-2)|^4 = 2^4 = 16$.
Таким образом, левая часть равна $-16$.
Теперь вычислим правую часть. Показатель степени 4 — четное число:
$(-2)^4 = 2^4 = 16$.
Левая часть ($-16$) не равна правой части ($16$).
Ответ: Равенство неверное.

$-\sqrt{(-10)^{14}} = -10^7$

Преобразуем левую часть. Сначала вычислим значение корня:
$\sqrt{(-10)^{14}} = \sqrt{(-10)^{2 \cdot 7}} = |(-10)|^7 = 10^7$.
Тогда вся левая часть равна $-\sqrt{(-10)^{14}} = -10^7$.
Правая часть равенства также равна $-10^7$.
Левая и правая части равны.
Ответ: Равенство верное.