Номер 12, страница 75, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

14. Квадратный корень из произведения и дроби. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 12, страница 75.

Условие.

12. Представьте выражение в виде частного двух корней:

$\sqrt{\frac{11p}{3q}}$, где $p < 0, q < 0$. Например, $\sqrt{\frac{11p}{3q}} = \frac{\sqrt{-11p}}{\sqrt{-3q}}$.

а) $\sqrt{\frac{7a}{3b}}$, где $a < 0, b < 0$;

б) $\sqrt{\frac{17mn}{p}}$, где $m < 0, n < 0, p > 0$;

в) $\sqrt{\frac{a}{pq}}$, где $a < 0, p < 0, q > 0$;

г) $\sqrt{\frac{x^4}{a^2b}}$, где $x < 0, a < 0, b > 0$.

Решение.

Решение 2.

а) Дано выражение $\sqrt{\frac{7a}{3b}}$, где $a < 0$ и $b < 0$. Для того чтобы представить корень из дроби в виде частного корней, необходимо, чтобы подкоренные выражения в числителе и знаменателе были неотрицательными. В данном случае, так как $a < 0$, то числитель $7a < 0$. Так как $b < 0$, то знаменатель $3b < 0$. Отношение двух отрицательных чисел является положительным числом, поэтому исходное выражение определено. Чтобы получить неотрицательные подкоренные выражения, умножим числитель и знаменатель дроби под корнем на $-1$: $\sqrt{\frac{7a}{3b}} = \sqrt{\frac{-7a}{-3b}}$. Теперь, так как $a < 0$, то $-7a > 0$, и так как $b < 0$, то $-3b > 0$. Можно применить свойство корня из частного: $\frac{\sqrt{-7a}}{\sqrt{-3b}}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{-7a}}{\sqrt{-3b}}$

б) Дано выражение $\sqrt{\frac{17mn}{p}}$, где $m < 0$, $n < 0$, $p > 0$. Определим знаки числителя и знаменателя дроби под корнем. Числитель $17mn$: так как $m < 0$ и $n < 0$, их произведение $mn > 0$, следовательно, $17mn > 0$. Знаменатель $p > 0$. Поскольку и числитель, и знаменатель дроби положительны, мы можем сразу применить свойство корня из частного $\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$: $\sqrt{\frac{17mn}{p}} = \frac{\sqrt{17mn}}{\sqrt{p}}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{17mn}}{\sqrt{p}}$

в) Дано выражение $\sqrt{\frac{a}{pq}}$, где $a < 0$, $p < 0$, $q > 0$. Определим знаки числителя и знаменателя. Числитель $a < 0$. Знаменатель $pq$: так как $p < 0$ и $q > 0$, их произведение $pq < 0$. Дробь $\frac{a}{pq}$ является отношением двух отрицательных чисел, значит, она положительна, и корень определен. Чтобы подкоренные выражения в числителе и знаменателе были неотрицательными, умножим их на $-1$: $\sqrt{\frac{a}{pq}} = \sqrt{\frac{-a}{-pq}}$. Так как $a < 0$, то $-a > 0$. Так как $pq < 0$, то $-pq > 0$. Теперь можно применить свойство корня из частного: $\frac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-pq}}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-pq}}$

г) Дано выражение $\sqrt{\frac{x^4}{a^2b}}$, где $x < 0$, $a < 0$, $b > 0$. Определим знаки числителя и знаменателя. Числитель $x^4$: так как $x$ возводится в четную степень, $x^4 > 0$. Знаменатель $a^2b$: так как $a < 0$, то $a^2 > 0$. Поскольку $b > 0$, то произведение $a^2b > 0$. Так как и числитель, и знаменатель положительны, мы можем сразу применить свойство корня из частного: $\sqrt{\frac{x^4}{a^2b}} = \frac{\sqrt{x^4}}{\sqrt{a^2b}}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{x^4}}{\sqrt{a^2b}}$