Номер 11, страница 75, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

14. Квадратный корень из произведения и дроби. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 11, страница 75.

Условие.

11. Представьте выражение в виде произведения двух корней:

$\sqrt{12mn}$, где $m < 0$, $n < 0$. Например, $\sqrt{12mn} = \sqrt{-12m} \cdot \sqrt{-n}$.

a) $\sqrt{3ab}$, где $a > 0$, $b > 0$;

б) $\sqrt{-7pq}$, где $p > 0$, $q < 0$;

в) $\sqrt{11abc}$, где $a < 0$, $b < 0$, $c > 0$;

г) $\sqrt{ax+ay}$, где $a < 0$, $x < 0$, $y < 0$.

Решение.

Решение 2.

а) Дано выражение $\sqrt{3ab}$ при условиях $a > 0$, $b > 0$. Так как по условию $a > 0$ и $b > 0$, то произведение $3ab$ будет положительным, а значит, из него можно извлечь квадратный корень. Чтобы представить корень из произведения в виде произведения корней, необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательными. Мы можем разбить подкоренное выражение $3ab$ на два множителя, например, $3a$ и $b$. Проверим знаки этих множителей: так как $a > 0$, то $3a > 0$; так как $b > 0$, то $b > 0$. Оба множителя неотрицательны, поэтому мы можем применить свойство $\sqrt{XY} = \sqrt{X} \cdot \sqrt{Y}$. Таким образом, $\sqrt{3ab} = \sqrt{3a} \cdot \sqrt{b}$. Также верными будут и другие варианты разбиения, например $\sqrt{a} \cdot \sqrt{3b}$.
Ответ: $\sqrt{3a} \cdot \sqrt{b}$

б) Дано выражение $\sqrt{-7pq}$ при условиях $p > 0$, $q < 0$. Сначала проверим знак подкоренного выражения. Множитель $-7$ — отрицательный, $p$ — положительный, $q$ — отрицательный. Произведение $(-7) \cdot p \cdot q$ имеет знак $(-)\cdot(+)\cdot(-) = (+)$, то есть $-7pq > 0$. Выражение под корнем положительно, корень определен. Чтобы представить его в виде произведения двух корней, нужно разбить $-7pq$ на два неотрицательных сомножителя. Рассмотрим множители $7p$ и $-q$. Проверим их знаки: так как $p > 0$, то $7p > 0$; так как $q < 0$, то $-q > 0$. Оба множителя положительны. Их произведение $(7p) \cdot (-q) = -7pq$. Следовательно, мы можем записать: $\sqrt{-7pq} = \sqrt{7p \cdot (-q)} = \sqrt{7p} \cdot \sqrt{-q}$.
Ответ: $\sqrt{7p} \cdot \sqrt{-q}$

в) Дано выражение $\sqrt{11abc}$ при условиях $a < 0$, $b < 0$, $c > 0$. Проверим знак подкоренного выражения: $11$ — положительное число, $a$ — отрицательное, $b$ — отрицательное, $c$ — положительное. Произведение $11 \cdot a \cdot b \cdot c$ имеет знак $(+)\cdot(-)\cdot(-)\cdot(+) = (+)$, то есть $11abc > 0$. Корень определен. Нам нужно разбить $11abc$ на два неотрицательных множителя. Рассмотрим множители $ab$ и $11c$. Проверим их знаки: так как $a < 0$ и $b < 0$, их произведение $ab > 0$; так как $c > 0$, то $11c > 0$. Оба множителя положительны. Их произведение $(ab) \cdot (11c) = 11abc$. Следовательно, мы можем записать: $\sqrt{11abc} = \sqrt{ab \cdot 11c} = \sqrt{ab} \cdot \sqrt{11c}$.
Ответ: $\sqrt{ab} \cdot \sqrt{11c}$

г) Дано выражение $\sqrt{ax+ay}$ при условиях $a < 0$, $x < 0$, $y < 0$. Сначала вынесем общий множитель $a$ за скобки в подкоренном выражении: $\sqrt{a(x+y)}$. Проанализируем знаки множителей $a$ и $(x+y)$. По условию $a < 0$. Так как $x < 0$ и $y < 0$, их сумма $x+y$ также будет отрицательной, то есть $x+y < 0$. Произведение двух отрицательных множителей $a \cdot (x+y)$ положительно, так что корень определен. Чтобы представить корень в виде произведения двух корней, нам нужны два неотрицательных сомножителя. Поскольку и $a$, и $(x+y)$ отрицательны, мы можем взять их с противоположными знаками. Рассмотрим множители $-a$ и $-(x+y)$. Проверим их знаки: так как $a < 0$, то $-a > 0$; так как $x+y < 0$, то $-(x+y) > 0$. Оба множителя положительны. Их произведение $(-a) \cdot (-(x+y)) = a(x+y)$. Таким образом, мы можем записать: $\sqrt{a(x+y)} = \sqrt{(-a) \cdot (-(x+y))} = \sqrt{-a} \cdot \sqrt{-(x+y)}$.
Ответ: $\sqrt{-a} \cdot \sqrt{-(x+y)}$