Номер 9, страница 78, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

15. Квадратный корень из степени. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 9, страница 78.

Условие.

9. Упростите выражение:

а) $\sqrt{169p^4} = $

б) если $a \ge 0$, то $\sqrt{21,16a^6} = $

в) если $c < 0$, то $\sqrt{100c^{12}} = $

г) если $p < 0$, то $\sqrt{10\,000p^{12}q^8} = $

Решение.

Решение 2.

а) Для упрощения выражения $\sqrt{169p^4}$ необходимо представить подкоренное выражение в виде квадрата некоторого выражения. Используем свойства степеней и арифметического квадратного корня.
Число $169$ является квадратом числа $13$, то есть $169 = 13^2$.
Степень $p^4$ можно представить как $(p^2)^2$.
Таким образом, выражение под корнем преобразуется к виду: $169p^4 = 13^2 \cdot (p^2)^2 = (13p^2)^2$.
Теперь извлечем корень:
$\sqrt{169p^4} = \sqrt{(13p^2)^2}$.
Согласно определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{x^2} = |x|$. Применим это правило:
$\sqrt{(13p^2)^2} = |13p^2|$.
Выражение $p^2$ всегда неотрицательно (то есть $p^2 \geq 0$) для любого действительного значения $p$. Следовательно, произведение $13p^2$ также всегда неотрицательно. Модуль неотрицательного числа равен самому числу.
$|13p^2| = 13p^2$.
Ответ: $13p^2$

б) Требуется упростить выражение $\sqrt{21,16a^6}$ при условии, что $a \geq 0$.
Сначала представим подкоренное выражение в виде полного квадрата.
Число $21,16$ является квадратом числа $4,6$, так как $4,6^2 = 21,16$.
Степень $a^6$ можно представить как $(a^3)^2$.
Тогда: $21,16a^6 = 4,6^2 \cdot (a^3)^2 = (4,6a^3)^2$.
Теперь извлекаем корень:
$\sqrt{21,16a^6} = \sqrt{(4,6a^3)^2}$.
Используя правило $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем:
$\sqrt{(4,6a^3)^2} = |4,6a^3|$.
По условию задачи $a \geq 0$. Если $a$ — неотрицательное число, то и его куб $a^3$ также будет неотрицательным ($a^3 \geq 0$). Значит, произведение $4,6a^3$ неотрицательно.
Следовательно, модуль можно раскрыть со знаком плюс:
$|4,6a^3| = 4,6a^3$.
Ответ: $4,6a^3$

в) Требуется упростить выражение $\sqrt{100c^{12}}$ при условии, что $c < 0$.
Представим подкоренное выражение в виде квадрата.
$100 = 10^2$ и $c^{12} = (c^6)^2$.
Следовательно, $100c^{12} = 10^2 \cdot (c^6)^2 = (10c^6)^2$.
Извлекаем корень:
$\sqrt{100c^{12}} = \sqrt{(10c^6)^2}$.
Применяем правило $\sqrt{x^2} = |x|$:
$\sqrt{(10c^6)^2} = |10c^6|$.
Рассмотрим выражение под модулем: $10c^6$. Переменная $c$ возводится в четную степень 6. Любое действительное число (положительное, отрицательное или ноль) в четной степени дает неотрицательный результат. Таким образом, $c^6 \geq 0$ при любом $c$, в том числе и при $c < 0$.
Поэтому произведение $10c^6$ всегда неотрицательно, и его модуль равен самому выражению.
$|10c^6| = 10c^6$.
Ответ: $10c^6$

г) Требуется упростить выражение $\sqrt{10000p^{12}q^8}$ при условии, что $p < 0$.
Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата.
$10000 = 100^2$.
$p^{12} = (p^6)^2$.
$q^8 = (q^4)^2$.
Тогда $10000p^{12}q^8 = 100^2 \cdot (p^6)^2 \cdot (q^4)^2 = (100p^6q^4)^2$.
Извлекаем корень из полученного выражения:
$\sqrt{10000p^{12}q^8} = \sqrt{(100p^6q^4)^2}$.
По правилу $\sqrt{x^2} = |x|$ имеем:
$\sqrt{(100p^6q^4)^2} = |100p^6q^4|$.
Проанализируем знак выражения в модуле. Выражения $p^6$ и $q^4$ представляют собой переменные в четных степенях, поэтому они всегда неотрицательны ($p^6 \geq 0$, $q^4 \geq 0$) для любых действительных $p$ и $q$. Это справедливо и при условии $p < 0$.
Произведение неотрицательных сомножителей $100 \cdot p^6 \cdot q^4$ также является неотрицательным.
Следовательно, модуль равен самому выражению:
$|100p^6q^4| = 100p^6q^4$.
Ответ: $100p^6q^4$