Номер 13, страница 80, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

15. Квадратный корень из степени. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 13, страница 80.

Условие.

13. Постройте график функции $y = \frac{\sqrt{x^6}}{x^2}$.

Решение.

Решение 2.

Для построения графика функции $y = \frac{\sqrt{x^6}}{x^2}$ необходимо найти ее область определения, упростить выражение и на основе этого построить график.

1. Область определения функции

Знаменатель дроби не должен равняться нулю, поэтому $x^2 \neq 0$, что означает $x \neq 0$.

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x^6 \ge 0$. Так как показатель степени четный, это неравенство выполняется для любого действительного числа $x$.

Объединяя эти условия, получаем область определения функции (ОДЗ): $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Упрощение функции

Упростим выражение функции. Для числителя используем свойство корня $\sqrt{a^2} = |a|$:

$\sqrt{x^6} = \sqrt{(x^3)^2} = |x^3|$.

Теперь функция имеет вид: $y = \frac{|x^3|}{x^2}$.

Далее необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая:

• Если $x > 0$, то $x^3 > 0$, и модуль раскрывается со знаком плюс: $|x^3| = x^3$. Тогда функция принимает вид: $y = \frac{x^3}{x^2} = x$.
• Если $x < 0$, то $x^3 < 0$, и модуль раскрывается со знаком минус: $|x^3| = -x^3$. Тогда функция принимает вид: $y = \frac{-x^3}{x^2} = -x$.

3. Построение графика

Итак, исходная функция является кусочно-заданной:

$y = \begin{cases} x, & \text{если } x > 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Это в точности совпадает с определением функции $y = |x|$, но с учетом нашей области определения ($x \neq 0$).

График состоит из двух частей:

• Луча $y = x$, который является биссектрисой первой координатной четверти (для $x > 0$).
• Луча $y = -x$, который является биссектрисой второй координатной четверти (для $x < 0$).

Поскольку $x=0$ не входит в область определения, точка $(0, 0)$ не принадлежит графику и должна быть изображена "выколотой" (в виде маленького незакрашенного кружка).

Ответ: Графиком функции $y = \frac{\sqrt{x^6}}{x^2}$ является объединение двух лучей: $y=x$ при $x>0$ и $y=-x$ при $x<0$. Это график модуля $y=|x|$ с выколотой точкой в начале координат (0, 0).