Номер 7, страница 82, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

16. Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 7, страница 82.

Условие.

7. Вынесите множитель из-под знака корня:

а) $\sqrt{y^5} = \text{...}$

б) $\sqrt{12a^7} = \text{...}$

в) $\sqrt{27b^3} = \text{...}$

г) $\sqrt{0,02m^4} = \text{...}$

Решение.

Решение 2.

а)

Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{y^5}$, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, то есть $y^5 \ge 0$, что означает $y \ge 0$.

Представим подкоренное выражение $y^5$ в виде произведения множителей, один из которых является полным квадратом. Наибольшая четная степень, не превосходящая 5, это 4. Поэтому можно записать: $y^5 = y^4 \cdot y$.

Тогда исходное выражение примет вид: $\sqrt{y^5} = \sqrt{y^4 \cdot y}$.

Используя свойство корня из произведения ($\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$), получим: $\sqrt{y^4 \cdot y} = \sqrt{y^4} \cdot \sqrt{y}$.

Так как $\sqrt{y^4} = \sqrt{(y^2)^2} = y^2$, то окончательно получаем: $y^2\sqrt{y}$.

Ответ: $y^2\sqrt{y}$

б)

Рассмотрим выражение $\sqrt{12a^7}$. Для существования корня необходимо, чтобы $12a^7 \ge 0$, что выполняется при $a \ge 0$.

Разложим подкоренное выражение на множители, являющиеся полными квадратами. Число 12 можно представить как $12 = 4 \cdot 3$, где 4 является полным квадратом ($4=2^2$).

Переменную $a^7$ представим как $a^7 = a^6 \cdot a$, где $a^6$ является полным квадратом ($a^6 = (a^3)^2$).

Таким образом, $\sqrt{12a^7} = \sqrt{4 \cdot 3 \cdot a^6 \cdot a} = \sqrt{(4a^6) \cdot (3a)}$.

Вынесем множители из-под знака корня: $\sqrt{4a^6} \cdot \sqrt{3a} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{a^6} \cdot \sqrt{3a}$.

Вычисляем корни: $\sqrt{4}=2$ и $\sqrt{a^6}=a^3$ (поскольку $a \ge 0$).

В результате получаем: $2a^3\sqrt{3a}$.

Ответ: $2a^3\sqrt{3a}$

в)

Для выражения $\sqrt{27b^3}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $27b^3 \ge 0$, откуда $b \ge 0$.

Разложим число 27 на множители: $27 = 9 \cdot 3$. Здесь 9 - полный квадрат ($9=3^2$).

Разложим переменную $b^3$: $b^3 = b^2 \cdot b$. Здесь $b^2$ - полный квадрат.

Тогда выражение под корнем можно переписать: $27b^3 = (9b^2) \cdot (3b)$.

Применяем свойство корня: $\sqrt{27b^3} = \sqrt{9b^2 \cdot 3b} = \sqrt{9b^2} \cdot \sqrt{3b}$.

Выносим множитель: $\sqrt{9} \cdot \sqrt{b^2} \cdot \sqrt{3b} = 3 \cdot b \cdot \sqrt{3b}$ (так как $b \ge 0$).

Окончательный результат: $3b\sqrt{3b}$.

Ответ: $3b\sqrt{3b}$

г)

Рассмотрим выражение $\sqrt{0,02m^4}$. Подкоренное выражение $0,02m^4$ всегда неотрицательно, так как $m^4 \ge 0$ для любого действительного числа $m$.

Представим числовой коэффициент 0,02 в виде произведения: $0,02 = 0,01 \cdot 2$. Здесь 0,01 является полным квадратом ($0,01 = 0,1^2$).

Степень переменной $m^4$ уже является полным квадратом, так как $m^4 = (m^2)^2$.

Перепишем исходное выражение: $\sqrt{0,02m^4} = \sqrt{0,01 \cdot 2 \cdot m^4} = \sqrt{(0,01m^4) \cdot 2}$.

Вынесем множитель из-под корня: $\sqrt{0,01m^4} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{0,01} \cdot \sqrt{m^4} \cdot \sqrt{2}$.

Вычисляем корни: $\sqrt{0,01}=0,1$ и $\sqrt{m^4} = \sqrt{(m^2)^2} = |m^2| = m^2$ (поскольку $m^2$ всегда неотрицательно).

Собираем все вместе: $0,1 \cdot m^2 \cdot \sqrt{2} = 0,1m^2\sqrt{2}$.

Ответ: $0,1m^2\sqrt{2}$