Номер 11, страница 79, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

15. Квадратный корень из степени. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 11, страница 79.

Условие.

11. Упростите выражение:

$\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}=\sqrt{3}-1.$

a) $\sqrt{9-4\sqrt{5}} = \text{.........}$

б) $\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \text{.........}$

в) $\sqrt{3-2\sqrt{2}} = \text{.........}$

г) $\sqrt{11-4\sqrt{7}} = \text{.........}$

Решение.

Решение 2.

Для решения данных задач используется формула квадрата суммы или разности $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$, чтобы представить подкоренное выражение в виде полного квадрата. Затем применяется свойство $\sqrt{x^2} = |x|$.

а) $\sqrt{9-4\sqrt{5}}$

Представим подкоренное выражение в виде квадрата разности. Для этого преобразуем член с корнем к виду $2ab$:
$4\sqrt{5} = 2 \cdot 2\sqrt{5} = 2\sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{20}$.
Тогда выражение примет вид: $\sqrt{9-2\sqrt{20}}$.
Теперь ищем два числа, сумма квадратов которых равна 9, а их удвоенное произведение равно $2\sqrt{20}$. Пусть это будут $\sqrt{x}$ и $\sqrt{y}$. Тогда:
$(\sqrt{x})^2 + (\sqrt{y})^2 = x+y = 9$
$2\sqrt{x}\sqrt{y} = 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{20}$, откуда $xy = 20$.
Нам нужно найти два числа, сумма которых 9, а произведение 20. Это числа 5 и 4.
Следовательно, $9-4\sqrt{5} = 5 - 2\sqrt{20} + 4 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{4} + (\sqrt{4})^2 = (\sqrt{5}-2)^2$.
Тогда $\sqrt{9-4\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}-2)^2} = |\sqrt{5}-2|$.
Поскольку $\sqrt{5} > \sqrt{4}$, то $\sqrt{5} > 2$, значит, выражение $\sqrt{5}-2$ положительно.
$|\sqrt{5}-2| = \sqrt{5}-2$.
Ответ: $\sqrt{5}-2$

б) $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$

Преобразуем выражение, приведя член с корнем к виду $2ab$:
$4\sqrt{3} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 2\sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{12}$.
Выражение примет вид: $\sqrt{7+2\sqrt{12}}$.
Ищем два числа $x$ и $y$, такие что $x+y=7$ и $xy=12$.
Этим условиям удовлетворяют числа 4 и 3.
Следовательно, $7+4\sqrt{3} = 4 + 2\sqrt{12} + 3 = (\sqrt{4})^2 + 2\sqrt{4}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2+\sqrt{3})^2$.
Тогда $\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = |2+\sqrt{3}|$.
Так как $2$ и $\sqrt{3}$ - положительные числа, их сумма также положительна.
$|2+\sqrt{3}| = 2+\sqrt{3}$.
Ответ: $2+\sqrt{3}$

в) $\sqrt{3-2\sqrt{2}}$

Данное выражение уже содержит член вида $2ab$, а именно $2\sqrt{2}$.
Ищем два числа $x$ и $y$, такие что $x+y=3$ и $xy=2$.
Этим условиям удовлетворяют числа 2 и 1.
Следовательно, $3-2\sqrt{2} = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = (\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2}\cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{2}-1)^2$.
Тогда $\sqrt{3-2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2} = |\sqrt{2}-1|$.
Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414 > 1$, выражение $\sqrt{2}-1$ положительно.
$|\sqrt{2}-1| = \sqrt{2}-1$.
Ответ: $\sqrt{2}-1$

г) $\sqrt{11-4\sqrt{7}}$

Преобразуем выражение, приведя член с корнем к виду $2ab$:
$4\sqrt{7} = 2 \cdot 2\sqrt{7} = 2\sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{28}$.
Выражение примет вид: $\sqrt{11-2\sqrt{28}}$.
Ищем два числа $x$ и $y$, такие что $x+y=11$ и $xy=28$.
Этим условиям удовлетворяют числа 7 и 4.
Следовательно, $11-4\sqrt{7} = 7 - 2\sqrt{28} + 4 = (\sqrt{7})^2 - 2\sqrt{7}\sqrt{4} + (\sqrt{4})^2 = (\sqrt{7}-2)^2$.
Тогда $\sqrt{11-4\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7}-2)^2} = |\sqrt{7}-2|$.
Поскольку $\sqrt{7} > \sqrt{4}$, то $\sqrt{7} > 2$, значит, выражение $\sqrt{7}-2$ положительно.
$|\sqrt{7}-2| = \sqrt{7}-2$.
Ответ: $\sqrt{7}-2$