Номер 8, страница 78, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

15. Квадратный корень из степени. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 8, страница 78.

Условие.

8. Найдите значение выражения:

а) $\sqrt{(-8)^2 \cdot 3^6 \cdot (-1)^8} =$

б) $\sqrt{9^4 \cdot (-6)^2 \cdot (-2)^4} =$

в) $\sqrt{3^4 \cdot 2^8 \cdot (-5)^2} =$

г) $\sqrt{0,7^2 \cdot (-2)^4 \cdot (-1)^{10}} =$

д) $\sqrt{5^4 \cdot (-4)^6 \cdot (-1)^2} =$

е) $\sqrt{(-3)^8 \cdot (-1)^{40} \cdot 0,2^2} =$

Решение.

Решение 2.

а) Для вычисления значения выражения $\sqrt{(-8)^2 \cdot 3^6 \cdot (-1)^8}$ воспользуемся свойствами степеней и корней. Поскольку любое число в четной степени неотрицательно, мы можем упростить подкоренное выражение: $(-8)^2 = 8^2 = 64$. $(-1)^8 = 1$. Таким образом, выражение принимает вид: $\sqrt{8^2 \cdot 3^6 \cdot 1}$. Используем свойство корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$. $\sqrt{8^2 \cdot 3^6} = \sqrt{8^2} \cdot \sqrt{3^6}$. Далее используем свойство корня из степени: $\sqrt{x^{2n}} = |x^n|$. $\sqrt{8^2} = |8| = 8$. $\sqrt{3^6} = \sqrt{(3^3)^2} = |3^3| = 27$. Перемножаем полученные значения: $8 \cdot 27 = 216$.
Ответ: 216

б) Рассмотрим выражение $\sqrt{9^4 \cdot (-6)^2 \cdot (-2)^4}$. Упростим его подкоренную часть, учитывая, что возведение в четную степень отрицательного числа дает положительный результат: $(-6)^2 = 6^2 = 36$. $(-2)^4 = 2^4 = 16$. Выражение становится: $\sqrt{9^4 \cdot 6^2 \cdot 2^4}$. Применим свойство корня из произведения: $\sqrt{9^4 \cdot 6^2 \cdot 2^4} = \sqrt{9^4} \cdot \sqrt{6^2} \cdot \sqrt{2^4}$. Теперь извлечем корни: $\sqrt{9^4} = \sqrt{(9^2)^2} = 9^2 = 81$. $\sqrt{6^2} = 6$. $\sqrt{2^4} = \sqrt{(2^2)^2} = 2^2 = 4$. Перемножим результаты: $81 \cdot 6 \cdot 4 = 81 \cdot 24 = 1944$.
Ответ: 1944

в) Рассмотрим выражение $\sqrt{3^4 \cdot 2^8 \cdot (-5)^2}$. Упростим подкоренное выражение. Так как $(-5)^2 = 5^2 = 25$, выражение можно записать как $\sqrt{3^4 \cdot 2^8 \cdot 5^2}$. Используя свойство корня из произведения, разделим корень: $\sqrt{3^4 \cdot 2^8 \cdot 5^2} = \sqrt{3^4} \cdot \sqrt{2^8} \cdot \sqrt{5^2}$. Вычислим каждый корень отдельно: $\sqrt{3^4} = 3^{4/2} = 3^2 = 9$. $\sqrt{2^8} = 2^{8/2} = 2^4 = 16$. $\sqrt{5^2} = 5$. Найдем произведение полученных чисел: $9 \cdot 16 \cdot 5 = 9 \cdot (16 \cdot 5) = 9 \cdot 80 = 720$.
Ответ: 720

г) Рассмотрим выражение $\sqrt{0.7^2 \cdot (-2)^4 \cdot (-1)^{10}}$. Сначала упростим множители под корнем. Возведение в четную степень убирает знаки минус: $(-2)^4 = 2^4 = 16$. $(-1)^{10} = 1$. Выражение принимает вид: $\sqrt{0.7^2 \cdot 16 \cdot 1} = \sqrt{0.7^2 \cdot 4^2}$. Используем свойство корня из произведения: $\sqrt{0.7^2 \cdot 4^2} = \sqrt{0.7^2} \cdot \sqrt{4^2}$. Извлекаем корни: $\sqrt{0.7^2} = 0.7$. $\sqrt{4^2} = 4$. Перемножаем результаты: $0.7 \cdot 4 = 2.8$.
Ответ: 2.8

д) Рассмотрим выражение $\sqrt{5^4 \cdot (-4)^6 \cdot (-1)^2}$. Упростим выражение под знаком корня, учитывая четные степени: $(-4)^6 = 4^6$. $(-1)^2 = 1$. Получаем: $\sqrt{5^4 \cdot 4^6 \cdot 1}$. Применим свойство корня из произведения: $\sqrt{5^4 \cdot 4^6} = \sqrt{5^4} \cdot \sqrt{4^6}$. Извлечем корни из каждого множителя: $\sqrt{5^4} = 5^{4/2} = 5^2 = 25$. $\sqrt{4^6} = 4^{6/2} = 4^3 = 64$. Вычислим произведение: $25 \cdot 64$. Удобнее посчитать так: $25 \cdot 4 \cdot 16 = 100 \cdot 16 = 1600$.
Ответ: 1600

е) Рассмотрим выражение $\sqrt{(-3)^8 \cdot (-1)^{40} \cdot 0.2^2}$. Упростим подкоренное выражение. Так как степени 8 и 40 четные, знаки минус исчезают: $(-3)^8 = 3^8$. $(-1)^{40} = 1$. Выражение становится: $\sqrt{3^8 \cdot 1 \cdot 0.2^2}$. Разделим корень, используя свойство корня из произведения: $\sqrt{3^8 \cdot 0.2^2} = \sqrt{3^8} \cdot \sqrt{0.2^2}$. Вычислим значения корней: $\sqrt{3^8} = 3^{8/2} = 3^4 = 81$. $\sqrt{0.2^2} = 0.2$. Найдем их произведение: $81 \cdot 0.2 = 16.2$.
Ответ: 16.2