Номер 8, страница 87, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

17. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 8, страница 87.

Условие.

8. Имеет ли смысл выражение:

а) $\sqrt{36-8\sqrt{5}}$;

б) $\sqrt{743-9\sqrt{17}};

в) $\sqrt{12\sqrt{2}-41}$;

г) $\sqrt{11\sqrt{11}-1300}$?

Ответ: а)

б) в) г)

Решение.

Решение 2.

а) Для того чтобы выражение $ \sqrt{36 - 8\sqrt{5}} $ имело смысл в действительных числах, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $ 36 - 8\sqrt{5} \ge 0 $. Это равносильно неравенству $ 36 \ge 8\sqrt{5} $. Поскольку обе части неравенства положительны, мы можем возвести их в квадрат, чтобы сравнить: $ 36^2 $ и $ (8\sqrt{5})^2 $.
Вычисляем значения квадратов:
$ 36^2 = 1296 $.
$ (8\sqrt{5})^2 = 8^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 64 \cdot 5 = 320 $.
Так как $ 1296 > 320 $, то и $ 36 > 8\sqrt{5} $. Следовательно, разность $ 36 - 8\sqrt{5} $ положительна.
Ответ: выражение имеет смысл.

б) Выражение $ \sqrt{743 - 9\sqrt{17}} $ имеет смысл, если подкоренное выражение $ 743 - 9\sqrt{17} $ неотрицательно, то есть $ 743 \ge 9\sqrt{17} $. Обе части неравенства положительны, поэтому для сравнения возведем их в квадрат.
$ 743^2 = 552049 $.
$ (9\sqrt{17})^2 = 9^2 \cdot (\sqrt{17})^2 = 81 \cdot 17 = 1377 $.
Поскольку $ 552049 > 1377 $, то $ 743 > 9\sqrt{17} $. Значит, подкоренное выражение положительно.
Ответ: выражение имеет смысл.

в) Для того чтобы выражение $ \sqrt{12\sqrt{2} - 41} $ имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $ 12\sqrt{2} - 41 \ge 0 $, что эквивалентно $ 12\sqrt{2} \ge 41 $. Возведем в квадрат обе положительные части неравенства, чтобы сравнить их.
$ (12\sqrt{2})^2 = 12^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 144 \cdot 2 = 288 $.
$ 41^2 = 1681 $.
Так как $ 288 < 1681 $, то $ 12\sqrt{2} < 41 $, и разность $ 12\sqrt{2} - 41 $ отрицательна. Подкоренное выражение отрицательно.
Ответ: выражение не имеет смысла.

г) Выражение $ \sqrt{11\sqrt{11} - 1300} $ имеет смысл, если $ 11\sqrt{11} - 1300 \ge 0 $, то есть $ 11\sqrt{11} \ge 1300 $. Сравним числа $ 11\sqrt{11} $ и $ 1300 $.
Представим $ 11\sqrt{11} $ в виде корня из одного числа: $ 11\sqrt{11} = \sqrt{11^2 \cdot 11} = \sqrt{121 \cdot 11} = \sqrt{1331} $.
Теперь нам нужно сравнить $ \sqrt{1331} $ и $ 1300 $.
Оценим величину $ \sqrt{1331} $. Мы знаем, что $ 30^2 = 900 $ и $ 40^2 = 1600 $. Так как $ 900 < 1331 < 1600 $, то $ 30 < \sqrt{1331} < 40 $.
Очевидно, что число, которое меньше 40, будет меньше и 1300. Таким образом, $ 11\sqrt{11} < 1300 $. Следовательно, разность $ 11\sqrt{11} - 1300 $ отрицательна.
Ответ: выражение не имеет смысла.