Номер 11, страница 88, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

17. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 11, страница 88.

Условие.

11. Докажите, что является натуральным числом значение выражения:

a) $\sqrt{6\sqrt{3}-2\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2\sqrt{2}+6\sqrt{3}} = $

б) $\sqrt{\sqrt{31}+5\sqrt{7}} \cdot \sqrt{5\sqrt{7}-\sqrt{31}} = $

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы доказать, что значение выражения является натуральным числом, необходимо его упростить. Исходное выражение: $\sqrt{6\sqrt{3}-2\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2\sqrt{2}+6\sqrt{3}}$.
Воспользуемся свойством произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$. Для этого убедимся, что подкоренные выражения неотрицательны. Выражение $2\sqrt{2}+6\sqrt{3}$ очевидно положительно. Для первого выражения сравним $6\sqrt{3}$ и $2\sqrt{2}$. $(6\sqrt{3})^2 = 36 \cdot 3 = 108$, а $(2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$. Так как $108 > 8$, то $6\sqrt{3} > 2\sqrt{2}$, и выражение $6\sqrt{3}-2\sqrt{2}$ положительно.
Объединим множители под один корень, поменяв слагаемые во втором множителе местами для наглядности:
$\sqrt{(6\sqrt{3}-2\sqrt{2})(6\sqrt{3}+2\sqrt{2})}$
Выражение под корнем представляет собой формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, где $x=6\sqrt{3}$ и $y=2\sqrt{2}$.
Применим формулу:
$\sqrt{(6\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{36 \cdot 3 - 4 \cdot 2} = \sqrt{108 - 8} = \sqrt{100} = 10$.
Значение выражения равно 10, что является натуральным числом.
Ответ: 10.

б) Упростим данное выражение: $\sqrt{\sqrt{31}+5\sqrt{7}} \cdot \sqrt{5\sqrt{7}-\sqrt{31}}$.
Как и в предыдущем задании, воспользуемся свойством $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$. Проверим, что подкоренные выражения положительны. $\sqrt{31}+5\sqrt{7}$ — сумма положительных чисел, значит, выражение положительно. Для второго выражения сравним $5\sqrt{7}$ и $\sqrt{31}$. $(5\sqrt{7})^2 = 25 \cdot 7 = 175$, а $(\sqrt{31})^2=31$. Так как $175 > 31$, то $5\sqrt{7} > \sqrt{31}$, и выражение $5\sqrt{7}-\sqrt{31}$ положительно.
Объединим множители под один корень:
$\sqrt{(\sqrt{31}+5\sqrt{7})(5\sqrt{7}-\sqrt{31})}$
Переставим слагаемые в первом множителе, чтобы применить формулу разности квадратов:
$\sqrt{(5\sqrt{7}+\sqrt{31})(5\sqrt{7}-\sqrt{31})}$
Используем формулу $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x=5\sqrt{7}$ и $y=\sqrt{31}$.
$\sqrt{(5\sqrt{7})^2 - (\sqrt{31})^2} = \sqrt{25 \cdot 7 - 31} = \sqrt{175 - 31} = \sqrt{144} = 12$.
Значение выражения равно 12, что является натуральным числом.
Ответ: 12.