Номер 10, страница 87, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

17. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 10, страница 87.

Условие.

10. Определите, при каком значении переменной дробь принимает наибольшее значение, и найдите это значение:

а) $\frac{\sqrt{b}-\sqrt{3}}{5b-15}$;

б) $\frac{\sqrt{x}-\sqrt{5}}{14x-70}$.

Решение.

Решение 2.

а) Рассмотрим выражение $ \frac{\sqrt{b} - \sqrt{3}}{5b - 15} $. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $b$. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $ b \ge 0 $. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $ 5b - 15 \ne 0 \implies 5b \ne 15 \implies b \ne 3 $. Итак, ОДЗ: $ b \ge 0 $ и $ b \ne 3 $. Теперь упростим данное выражение. Разложим знаменатель на множители. Сначала вынесем общий множитель 5: $ 5b - 15 = 5(b - 3) $. Затем представим выражение $ b - 3 $ как разность квадратов, учитывая, что $ b = (\sqrt{b})^2 $ и $ 3 = (\sqrt{3})^2 $: $ b - 3 = (\sqrt{b})^2 - (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{b} - \sqrt{3})(\sqrt{b} + \sqrt{3}) $. Подставим разложение в знаменатель дроби: $ \frac{\sqrt{b} - \sqrt{3}}{5(\sqrt{b} - \sqrt{3})(\sqrt{b} + \sqrt{3})} $. Так как $ b \ne 3 $, то $ \sqrt{b} - \sqrt{3} \ne 0 $, и мы можем сократить дробь на $ (\sqrt{b} - \sqrt{3}) $: $ \frac{1}{5(\sqrt{b} + \sqrt{3})} $. Чтобы полученная дробь принимала наибольшее значение, ее знаменатель $ 5(\sqrt{b} + \sqrt{3}) $ должен принимать наименьшее положительное значение. Это произойдет, когда выражение $ \sqrt{b} $ будет наименьшим, так как $ 5 $ и $ \sqrt{3} $ — положительные константы. Функция $ y = \sqrt{b} $ является возрастающей, поэтому ее наименьшее значение достигается при наименьшем возможном значении $ b $ из ОДЗ. Наименьшее значение из области $ b \ge 0 $ и $ b \ne 3 $ равно $ b = 0 $. Следовательно, при $ b = 0 $ дробь принимает наибольшее значение. Найдем это значение, подставив $ b = 0 $ в упрощенное выражение: $ \frac{1}{5(\sqrt{0} + \sqrt{3})} = \frac{1}{5\sqrt{3}} $. Избавимся от иррациональности в знаменателе: $ \frac{1}{5\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{5 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{15} $.
Ответ: наибольшее значение дроби равно $ \frac{\sqrt{3}}{15} $ при $ b = 0 $.

б) Рассмотрим выражение $ \frac{\sqrt{x} - \sqrt{5}}{14x - 70} $. Определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Подкоренное выражение: $ x \ge 0 $. Знаменатель: $ 14x - 70 \ne 0 \implies 14x \ne 70 \implies x \ne 5 $. ОДЗ: $ x \ge 0 $ и $ x \ne 5 $. Упростим выражение. Разложим знаменатель на множители: $ 14x - 70 = 14(x - 5) $. Представим $ x - 5 $ как разность квадратов: $ x - 5 = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{5})^2 = (\sqrt{x} - \sqrt{5})(\sqrt{x} + \sqrt{5}) $. Подставим в исходную дробь: $ \frac{\sqrt{x} - \sqrt{5}}{14(\sqrt{x} - \sqrt{5})(\sqrt{x} + \sqrt{5})} $. Так как по ОДЗ $ x \ne 5 $, то $ \sqrt{x} - \sqrt{5} \ne 0 $, и на это выражение можно сократить: $ \frac{1}{14(\sqrt{x} + \sqrt{5})} $. Дробь будет иметь наибольшее значение, когда ее знаменатель $ 14(\sqrt{x} + \sqrt{5}) $ будет иметь наименьшее положительное значение. Знаменатель минимален, когда слагаемое $ \sqrt{x} $ минимально. Функция $ y = \sqrt{x} $ возрастающая, ее наименьшее значение на ОДЗ ($ x \ge 0 $, $ x \ne 5 $) достигается при $ x = 0 $. Найдем наибольшее значение дроби, подставив $ x = 0 $: $ \frac{1}{14(\sqrt{0} + \sqrt{5})} = \frac{1}{14\sqrt{5}} $. Рационализируем знаменатель: $ \frac{1}{14\sqrt{5}} = \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{14\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{14 \cdot 5} = \frac{\sqrt{5}}{70} $.
Ответ: наибольшее значение дроби равно $ \frac{\sqrt{5}}{70} $ при $ x = 0 $.