Номер 12, страница 88, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

17. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 12, страница 88.

Условие.

12. Докажите, что:

а) при $b > -2$ значение выражения $5-b+\sqrt{4b+\sqrt{b^4+16+8b^2}}$ не зависит от $b$;

б) при $p > -3$ значение выражения $p-1-\sqrt{6p+\sqrt{p^4+18p^2+81}}$ не зависит от $p$.

Решение.

Решение 2.

а) Упростим выражение $5-b+\sqrt{4b+\sqrt{b^4+16+8b^2}}$.

Сначала преобразуем выражение, находящееся под внутренним корнем: $b^4+16+8b^2$. Переставив слагаемые, получим $b^4+8b^2+16$, что является полным квадратом суммы $(b^2+4)^2$.

Тогда $\sqrt{b^4+16+8b^2} = \sqrt{(b^2+4)^2} = |b^2+4|$. Поскольку $b^2 \ge 0$ для любого действительного числа $b$, выражение $b^2+4$ всегда положительно. Следовательно, $|b^2+4| = b^2+4$.

Подставим полученное значение обратно в исходное выражение:

$5-b+\sqrt{4b+(b^2+4)} = 5-b+\sqrt{b^2+4b+4}$.

Выражение под оставшимся корнем $b^2+4b+4$ также является полным квадратом: $(b+2)^2$.

Таким образом, $\sqrt{b^2+4b+4} = \sqrt{(b+2)^2} = |b+2|$.

По условию задачи дано, что $b > -2$. Это означает, что $b+2 > 0$, и поэтому $|b+2| = b+2$.

Теперь завершим упрощение, подставив это значение в выражение:

$5-b+(b+2) = 5-b+b+2 = 7$.

Значение выражения равно 7, является константой и не зависит от переменной $b$. Утверждение доказано.

Ответ: значение выражения равно 7 и не зависит от b.

б) Упростим выражение $p-1-\sqrt{6p+\sqrt{p^4+18p^2+81}}$.

Рассмотрим выражение под внутренним корнем: $p^4+18p^2+81$. Это полный квадрат суммы, который можно записать как $(p^2+9)^2$.

Следовательно, $\sqrt{p^4+18p^2+81} = \sqrt{(p^2+9)^2} = |p^2+9|$. Так как $p^2 \ge 0$ для любого действительного числа $p$, выражение $p^2+9$ всегда положительно. Значит, $|p^2+9| = p^2+9$.

Подставим это обратно в исходное выражение:

$p-1-\sqrt{6p+(p^2+9)} = p-1-\sqrt{p^2+6p+9}$.

Выражение под оставшимся корнем, $p^2+6p+9$, также является полным квадратом: $(p+3)^2$.

Таким образом, $\sqrt{p^2+6p+9} = \sqrt{(p+3)^2} = |p+3|$.

По условию задачи $p > -3$, из этого следует, что $p+3 > 0$. Следовательно, $|p+3| = p+3$.

Подставив это значение, получаем окончательный результат:

$p-1-(p+3) = p-1-p-3 = -4$.

Значение выражения равно -4, является константой и не зависит от переменной $p$. Утверждение доказано.

Ответ: значение выражения равно -4 и не зависит от p.