Номер 12, страница 94, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

18. Неполные квадратные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 12, страница 94.

Условие.

12. Один катет прямоугольного треугольника в 5 раз больше другого. Квадрат, построенный на гипотенузе этого треугольника, равновелик прямоугольнику, длина которого 52 см, а ширина равна большему катету треугольника. Определите длины катетов этого треугольника.

Решение.

Решение 2.

Пусть меньший катет прямоугольного треугольника равен $x$ см. Тогда, согласно условию, больший катет будет в 5 раз больше, то есть $5x$ см.

Обозначим катеты как $a = x$ и $b = 5x$, а гипотенузу как $c$.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$c^2 = a^2 + b^2 = x^2 + (5x)^2 = x^2 + 25x^2 = 26x^2$

Площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна $S_{квадрата} = c^2$. Таким образом, $S_{квадрата} = 26x^2$.

Теперь рассмотрим прямоугольник. По условию, его длина равна $l = 52$ см, а ширина $w$ равна большему катету треугольника, то есть $w = b = 5x$.

Площадь этого прямоугольника вычисляется по формуле:

$S_{прямоугольника} = l \cdot w = 52 \cdot 5x = 260x$

В задаче сказано, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик этому прямоугольнику. "Равновелик" означает, что их площади равны. Приравняем площади:

$S_{квадрата} = S_{прямоугольника}$

$26x^2 = 260x$

Для решения этого уравнения перенесем все его члены в левую часть:

$26x^2 - 260x = 0$

Вынесем общий множитель $26x$ за скобки:

$26x(x - 10) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x = 0$ или $x - 10 = 0$.

Так как $x$ представляет собой длину катета, эта величина не может быть равна нулю ($x > 0$). Следовательно, единственным решением является $x = 10$.

Таким образом, длина меньшего катета равна 10 см.

Найдем длину большего катета:

$5x = 5 \cdot 10 = 50$ см.

Ответ: длины катетов треугольника равны 10 см и 50 см.