Номер 11, страница 94, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

18. Неполные квадратные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 11, страница 94.

Условие.

11. При каких значениях a данное уравнение является неполным квадратным уравнением? Решите полученное уравнение:

a) $18x^2 + (a^2 - 81)x - 2 = 0;$

б) $(a + 2)x^2 - 14x + a^2 - 4 = 0.$

Решение.

Решение 2.

Общий вид квадратного уравнения: $Ax^2 + Bx + C = 0$, где $A \neq 0$.
Уравнение называется неполным квадратным, если хотя бы один из коэффициентов $B$ или $C$ равен нулю.

а) $18x^2 + (a^2 - 81)x - 2 = 0$

В данном уравнении коэффициенты: $A = 18$, $B = a^2 - 81$, $C = -2$.
Коэффициент $A = 18 \neq 0$, значит, это всегда квадратное уравнение.
Коэффициент $C = -2 \neq 0$.
Для того чтобы уравнение стало неполным, необходимо, чтобы коэффициент $B$ был равен нулю.
Найдем значения $a$, при которых это выполняется:

$a^2 - 81 = 0$

$a^2 = 81$

$a_1 = 9$, $a_2 = -9$

Таким образом, при $a=9$ или $a=-9$ уравнение становится неполным квадратным. Подставим значение $a^2 - 81 = 0$ в исходное уравнение, чтобы решить его:

$18x^2 + 0 \cdot x - 2 = 0$

$18x^2 - 2 = 0$

$18x^2 = 2$

$x^2 = \frac{2}{18}$

$x^2 = \frac{1}{9}$

$x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{1}{9}} = \pm\frac{1}{3}$

Ответ: при $a = 9$ и $a = -9$ уравнение является неполным квадратным, его корни $x_1 = \frac{1}{3}$, $x_2 = -\frac{1}{3}$.

б) $(a + 2)x^2 - 14x + a^2 - 4 = 0$

В данном уравнении коэффициенты: $A = a+2$, $B = -14$, $C = a^2 - 4$.
Коэффициент $B = -14 \neq 0$.
Для того чтобы уравнение стало неполным, необходимо, чтобы свободный член $C$ был равен нулю.

$a^2 - 4 = 0$

$a^2 = 4$

$a_1 = 2$, $a_2 = -2$

Теперь проверим условие, при котором уравнение является квадратным: $A \neq 0$.

$A = a + 2 \neq 0 \implies a \neq -2$

Из двух найденных значений $a$ ($2$ и $-2$), значение $a=-2$ не подходит, так как при нем коэффициент при $x^2$ обращается в ноль, и уравнение перестает быть квадратным.

Следовательно, единственное подходящее значение — это $a=2$.
Подставим $a=2$ в исходное уравнение, чтобы решить его:

$(2 + 2)x^2 - 14x + (2^2 - 4) = 0$

$4x^2 - 14x + 0 = 0$

$4x^2 - 14x = 0$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(2x - 7) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$2x = 0$ или $2x - 7 = 0$

$x_1 = 0$

$2x = 7 \implies x_2 = \frac{7}{2} = 3.5$

Ответ: при $a = 2$ уравнение является неполным квадратным, его корни $x_1 = 0$, $x_2 = 3.5$.