Номер 11, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

25. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 11, страница 23.

Условие.

11. Два трактора могут вспахать поле на 4,8 дня быстрее, чем один первый, и на 10,8 дня быстрее, чем один второй. За сколько дней каждый трактор может вспахать всё поле?

Решение.

Решение 2.

Пусть $t$ — время (в днях), за которое два трактора вспахивают поле, работая вместе.
Согласно условию, два трактора выполняют работу на 4,8 дня быстрее, чем один первый трактор. Это означает, что время, необходимое первому трактору для выполнения всей работы в одиночку, составляет $t_1 = t + 4,8$ дня.
Также, совместная работа на 10,8 дня быстрее, чем работа одного второго трактора. Следовательно, время, необходимое второму трактору, равно $t_2 = t + 10,8$ дня.

Примем всю работу по вспашке поля за единицу (1).
Тогда производительность первого трактора (часть поля, вспахиваемая за один день) равна $v_1 = \frac{1}{t_1} = \frac{1}{t + 4,8}$.
Производительность второго трактора равна $v_2 = \frac{1}{t_2} = \frac{1}{t + 10,8}$.
Когда тракторы работают вместе, их производительности складываются. Совместная производительность равна $v_{12} = v_1 + v_2 = \frac{1}{t + 4,8} + \frac{1}{t + 10,8}$.

Время совместной работы $t$ обратно пропорционально совместной производительности:
$t = \frac{1}{v_{12}} = \frac{1}{\frac{1}{t + 4,8} + \frac{1}{t + 10,8}}$.
Для решения этого уравнения, сначала преобразуем знаменатель правой части, приведя дроби к общему знаменателю:
$\frac{1}{t + 4,8} + \frac{1}{t + 10,8} = \frac{(t + 10,8) + (t + 4,8)}{(t + 4,8)(t + 10,8)} = \frac{2t + 15,6}{(t + 4,8)(t + 10,8)}$.

Теперь подставим это выражение обратно в исходное уравнение:
$t = \frac{1}{\frac{2t + 15,6}{(t + 4,8)(t + 10,8)}} = \frac{(t + 4,8)(t + 10,8)}{2t + 15,6}$.
Умножим обе части уравнения на знаменатель $(2t + 15,6)$:
$t(2t + 15,6) = (t + 4,8)(t + 10,8)$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$2t^2 + 15,6t = t^2 + 10,8t + 4,8t + 4,8 \times 10,8$
$2t^2 + 15,6t = t^2 + 15,6t + 51,84$.

Упростим уравнение. Для этого вычтем из обеих частей $t^2$ и $15,6t$:
$2t^2 - t^2 + 15,6t - 15,6t = 51,84$
$t^2 = 51,84$.
Чтобы найти $t$, извлечем квадратный корень. Поскольку время не может быть отрицательным, мы рассматриваем только положительное значение:
$t = \sqrt{51,84} = 7,2$.
Таким образом, время совместной работы двух тракторов составляет 7,2 дня.

Теперь мы можем найти время, за которое каждый трактор может вспахать поле, работая отдельно:
Время работы первого трактора: $t_1 = t + 4,8 = 7,2 + 4,8 = 12$ дней.
Время работы второго трактора: $t_2 = t + 10,8 = 7,2 + 10,8 = 18$ дней.

Ответ: первый трактор может вспахать всё поле за 12 дней, а второй — за 18 дней.