Номер 2, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

27. Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 2, страница 30.

Условие.

2. Выясните, имеет ли решения система уравнений, и сколько:

а) $\begin{cases} 2x + 3y = 1, \\ 5x - y = 3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} -3x + 5y = -2, \\ 1.5x - 2.5y = 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x - 4y = 7, \\ -2x + 8y = 14; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 4x + 3y = -5, \\ 2x - 1.5y = -2.5. \end{cases}$

Решение.

Решение 2.

а) Для того чтобы определить количество решений системы линейных уравнений, можно сравнить отношения коэффициентов при соответствующих переменных.
Дана система: $ \begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ 5x - y = 3 \end{cases} $
Обозначим коэффициенты первого уравнения как $a_1=2, b_1=3, c_1=1$ и второго уравнения как $a_2=5, b_2=-1, c_2=3$.
Найдем отношения коэффициентов при $x$ и $y$:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{5}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{-1} = -3$
Поскольку отношения коэффициентов при переменных не равны ($\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$), прямые, являющиеся графиками этих уравнений, пересекаются в одной точке. Это означает, что система имеет единственное решение.
Ответ: система имеет одно решение.

б) Дана система: $ \begin{cases} -3x + 5y = -2 \\ 1.5x - 2.5y = 1 \end{cases} $
Обозначим коэффициенты: $a_1=-3, b_1=5, c_1=-2$ и $a_2=1.5, b_2=-2.5, c_2=1$.
Сравним отношения коэффициентов при переменных и свободных членов:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{-3}{1.5} = -2$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{5}{-2.5} = -2$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-2}{1} = -2$
Так как все три отношения равны ($\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$), уравнения являются пропорциональными и описывают одну и ту же прямую. Это означает, что любая точка этой прямой является решением, и система имеет бесконечно много решений.
Ответ: система имеет бесконечно много решений.

в) Дана система: $ \begin{cases} x - 4y = 7 \\ -2x + 8y = 14 \end{cases} $
Обозначим коэффициенты: $a_1=1, b_1=-4, c_1=7$ и $a_2=-2, b_2=8, c_2=14$.
Сравним отношения коэффициентов при переменных и свободных членов:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{-2} = -0.5$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-4}{8} = -0.5$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{7}{14} = 0.5$
Поскольку отношения коэффициентов при переменных равны, а отношение свободных членов им не равно ($\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$), прямые, являющиеся графиками этих уравнений, параллельны и не совпадают. Следовательно, у них нет общих точек, и система не имеет решений.
Ответ: система не имеет решений.

г) Дана система: $ \begin{cases} 4x + 3y = -5 \\ 2x - 1.5y = -2.5 \end{cases} $
Обозначим коэффициенты: $a_1=4, b_1=3, c_1=-5$ и $a_2=2, b_2=-1.5, c_2=-2.5$.
Найдем отношения коэффициентов при $x$ и $y$:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{2} = 2$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{-1.5} = -2$
Так как отношения коэффициентов при переменных не равны ($\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$), прямые пересекаются в одной точке. Это означает, что система имеет единственное решение.
Ответ: система имеет одно решение.