Номер 6, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

27. Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 6, страница 32.

Условие.

6. Дана система уравнений

$\begin{cases} x + 2y = 6 \\ bx - 5y = c \end{cases}$

Укажите такие значения $b$ и $c$, при которых система:

а) имеет одно решение

б) имеет бесконечно много решений

в) не имеет решений

Ответ: а) .................. б) .................. в) ..................

Решение.

Решение 2.

Рассмотрим данную систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} x + 2y = 6 \\ bx - 5y = c \end{cases} $

Для анализа количества решений системы вида $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ необходимо сравнить отношения коэффициентов при переменных и свободных членах. В нашем случае коэффициенты равны: $a_1=1, b_1=2, c_1=6$ и $a_2=b, b_2=-5, c_2=c$.

а) имеет одно решение

Система имеет единственное решение, если прямые, являющиеся графиками уравнений, пересекаются в одной точке. Это происходит, когда отношение коэффициентов при $x$ не равно отношению коэффициентов при $y$:

$\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$

Подставим наши значения:

$\frac{1}{b} \neq \frac{2}{-5}$

Чтобы найти значение $b$, при котором это неравенство выполняется, решим соответствующее уравнение:

$\frac{1}{b} = \frac{2}{-5} \implies 2b = -5 \implies b = -2.5$

Следовательно, система будет иметь одно решение при любом значении $b$, кроме $b = -2.5$. Значение $c$ при этом может быть любым действительным числом.

Ответ: $b \neq -2.5$, $c$ — любое число.

б) имеет бесконечно много решений

Система имеет бесконечно много решений, если прямые, являющиеся графиками уравнений, совпадают. Это происходит, когда отношения всех коэффициентов равны:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$

Подставим наши значения:

$\frac{1}{b} = \frac{2}{-5} = \frac{6}{c}$

Из первого равенства $\frac{1}{b} = \frac{2}{-5}$ находим $b$:

$2b = -5 \implies b = -2.5$

Из второго равенства $\frac{2}{-5} = \frac{6}{c}$ находим $c$:

$2c = 6 \cdot (-5) \implies 2c = -30 \implies c = -15$

Таким образом, система имеет бесконечно много решений только при $b = -2.5$ и $c = -15$.

Ответ: $b = -2.5$, $c = -15$.

в) не имеет решений

Система не имеет решений, если прямые, являющиеся графиками уравнений, параллельны и не совпадают. Это происходит, когда отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$

Подставим наши значения:

$\frac{1}{b} = \frac{2}{-5} \neq \frac{6}{c}$

Из равенства $\frac{1}{b} = \frac{2}{-5}$ мы уже знаем, что $b = -2.5$.

Теперь рассмотрим неравенство $\frac{2}{-5} \neq \frac{6}{c}$:

$2c \neq 6 \cdot (-5) \implies 2c \neq -30 \implies c \neq -15$

Следовательно, система не имеет решений при $b = -2.5$ и любом значении $c$, кроме $c = -15$.

Ответ: $b = -2.5$, $c \neq -15$.