Номер 3, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

27. Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 3, страница 31.

Условие.

3. Приведите пример какого-либо линейного уравнения с двумя переменными, которое вместе с уравнением $6x - 5y = 4$ составило бы систему:

а) имеющую одно решение: ....................

б) имеющую бесконечно много решений: ...................

в) не имеющую решений: .....................

Ответ: а) ................. б) ................. в)

Решение.

Решение 2.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными в общем виде: $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $
Нам дано первое уравнение: $6x - 5y = 4$, где $a_1 = 6$, $b_1 = -5$, $c_1 = 4$. Нам нужно подобрать второе уравнение $a_2x + b_2y = c_2$ для каждого из трех случаев.

а) имеющую одно решение:
Система имеет одно решение, если графики уравнений (прямые) пересекаются в одной точке. Это происходит, когда их угловые коэффициенты различны, то есть когда коэффициенты при переменных не пропорциональны: $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $
Подставим наши значения: $ \frac{6}{a_2} \neq \frac{-5}{b_2} $
Нам нужно выбрать такие $a_2$ и $b_2$, чтобы это неравенство выполнялось. Можно взять практически любые простые числа, которые не находятся в той же пропорции, что и 6 к -5. Например, выберем $a_2 = 1$ и $b_2 = 1$. Свободный член $c_2$ может быть любым, например, $c_2=1$.
Получим уравнение $x + y = 1$.
Проверим условие: $ \frac{6}{1} \neq \frac{-5}{1} $, что является верным неравенством ($6 \neq -5$). Следовательно, система уравнений $ \begin{cases} 6x - 5y = 4 \\ x + y = 1 \end{cases} $ имеет одно решение.
Ответ: $x + y = 1$ (можно привести любой другой пример, удовлетворяющий условию, например $x = 0$ или $y = 5x+2$).

б) имеющую бесконечно много решений:
Система имеет бесконечно много решений, если графики уравнений (прямые) совпадают. Это происходит, когда все коэффициенты одного уравнения пропорциональны соответствующим коэффициентам другого: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $
Подставим наши значения: $ \frac{6}{a_2} = \frac{-5}{b_2} = \frac{4}{c_2} $
Чтобы это равенство выполнялось, достаточно умножить исходное уравнение $6x - 5y = 4$ на любое ненулевое число. Например, умножим на 2.
$ (6x - 5y) \cdot 2 = 4 \cdot 2 $
$ 12x - 10y = 8 $
Проверим условие: $ \frac{6}{12} = \frac{-5}{-10} = \frac{4}{8} $, что является верным равенством ($ \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $). Следовательно, система уравнений $ \begin{cases} 6x - 5y = 4 \\ 12x - 10y = 8 \end{cases} $ имеет бесконечно много решений.
Ответ: $12x - 10y = 8$ (или любое другое уравнение, полученное умножением исходного на константу).

в) не имеющую решений:
Система не имеет решений, если графики уравнений (прямые) параллельны, но не совпадают. Это происходит, когда коэффициенты при переменных пропорциональны, а свободные члены — нет: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $
Подставим наши значения: $ \frac{6}{a_2} = \frac{-5}{b_2} \neq \frac{4}{c_2} $
Для этого возьмем коэффициенты $a_2$ и $b_2$ пропорциональными $a_1$ и $b_1$ (например, равными им: $a_2 = 6, b_2 = -5$), а свободный член $c_2$ выберем так, чтобы он не был пропорционален $c_1$ (то есть $c_2 \neq 4$). Например, возьмем $c_2 = 0$.
Получим уравнение $6x - 5y = 0$.
Проверим условие: $ \frac{6}{6} = \frac{-5}{-5} \neq \frac{4}{0} $. Равенство $1=1$ верно, а неравенство верно, так как деление на 0 не определено, и отношение $\frac{4}{0}$ не равно 1. Следовательно, система уравнений $ \begin{cases} 6x - 5y = 4 \\ 6x - 5y = 0 \end{cases} $ не имеет решений.
Ответ: $6x - 5y = 0$ (или любое другое уравнение вида $6kx - 5ky = m$, где $m \neq 4k$).