Номер 15, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

42. Определение степени с целым отрицательным показателем. Глава 6. Степень с целым показателем. Часть 2 - номер 15, страница 110.

Условие.

15. Найдите значение выражения $(a^{-1} + b^{-1})(a^{-3} + a^{-2}b^{-1} - a^{-1}b^{-2} + b^{-3})$

при $a = \frac{1}{5}$, $b = -\frac{1}{3}$.

Решение.

Решение 2.

Для нахождения значения выражения $(a^{-1} + b^{-1})(a^{-3} + a^{-2}b^{-1} - a^{-1}b^{-2} + b^{-3})$ при $a = \frac{1}{5}$ и $b = -\frac{1}{3}$, выполним вычисления по шагам.

1. Вычисление значений $a^{-1}$ и $b^{-1}$

По определению степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, найдем обратные величины для $a$ и $b$:

$a^{-1} = \frac{1}{a} = \frac{1}{1/5} = 5$

$b^{-1} = \frac{1}{b} = \frac{1}{-1/3} = -3$

2. Вычисление значения первого сомножителя

Первый сомножитель представляет собой сумму $(a^{-1} + b^{-1})$. Подставим найденные значения:

$a^{-1} + b^{-1} = 5 + (-3) = 2$

3. Вычисление значения второго сомножителя

Второй сомножитель — это выражение $(a^{-3} + a^{-2}b^{-1} - a^{-1}b^{-2} + b^{-3})$. Вычислим каждое его слагаемое отдельно, используя значения $a^{-1}=5$ и $b^{-1}=-3$:

• Первое слагаемое: $a^{-3} = (a^{-1})^3 = 5^3 = 125$
• Второе слагаемое: $a^{-2}b^{-1} = (a^{-1})^2(b^{-1}) = 5^2 \cdot (-3) = 25 \cdot (-3) = -75$
• Значение для третьего слагаемого: $a^{-1}b^{-2} = (a^{-1})(b^{-1})^2 = 5 \cdot (-3)^2 = 5 \cdot 9 = 45$
• Четвертое слагаемое: $b^{-3} = (b^{-1})^3 = (-3)^3 = -27$

Теперь подставим вычисленные значения в выражение для второго сомножителя, учитывая знаки:

$a^{-3} + a^{-2}b^{-1} - a^{-1}b^{-2} + b^{-3} = 125 + (-75) - 45 + (-27)$

Выполним арифметические действия:

$125 - 75 - 45 - 27 = 50 - 45 - 27 = 5 - 27 = -22$

4. Итоговый расчет

Для получения окончательного ответа перемножим значения первого и второго сомножителей:

$2 \cdot (-22) = -44$

Ответ: $-44$