Номер 4, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

43. Свойства степени с целым показателем. Глава 6. Степень с целым показателем. Часть 2 - номер 4, страница 111.

Условие.

4. Упростите выражение:

а) $0,8m^{-3}n^5 \cdot 5m^2n^{-1} = ...$

б) $2\frac{1}{3}a^{-4}b^{18} : (7a^{-6}b^{20}) = ...$

в) $0,5x^{-1}y^{-5} \cdot 4x^{-3}y^5 = ...$

г) $\frac{2}{5}p^{-4}q^{-3} : (0,6p^5q^{-1}) = ...$

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы упростить выражение $0,8m^{-3}n^{5} \cdot 5m^{2}n^{-1}$, необходимо перемножить числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями. При умножении степеней их показатели складываются, согласно свойству $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$.
$0,8m^{-3}n^{5} \cdot 5m^{2}n^{-1} = (0,8 \cdot 5) \cdot (m^{-3} \cdot m^{2}) \cdot (n^{5} \cdot n^{-1})$
1. Перемножаем коэффициенты: $0,8 \cdot 5 = 4$.
2. Умножаем степени с основанием $m$: $m^{-3} \cdot m^{2} = m^{-3+2} = m^{-1}$.
3. Умножаем степени с основанием $n$: $n^{5} \cdot n^{-1} = n^{5+(-1)} = n^{4}$.
Объединяем полученные результаты: $4m^{-1}n^{4}$.
Ответ: $4m^{-1}n^{4}$.

б) Чтобы упростить выражение $2\frac{1}{3}a^{-4}b^{18} : (7a^{-6}b^{20})$, необходимо разделить числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями. При делении степеней их показатели вычитаются, согласно свойству $a^x : a^y = a^{x-y}$.
1. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.
2. Теперь разделим коэффициенты: $\frac{7}{3} : 7 = \frac{7}{3} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{3}$.
3. Делим степени с основанием $a$: $a^{-4} : a^{-6} = a^{-4 - (-6)} = a^{-4+6} = a^{2}$.
4. Делим степени с основанием $b$: $b^{18} : b^{20} = b^{18-20} = b^{-2}$.
Объединяем полученные результаты: $\frac{1}{3}a^{2}b^{-2}$.
Ответ: $\frac{1}{3}a^{2}b^{-2}$.

в) Чтобы упростить выражение $0,5x^{-1}y^{-5} \cdot 4x^{-3}y^{5}$, перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
$0,5x^{-1}y^{-5} \cdot 4x^{-3}y^{5} = (0,5 \cdot 4) \cdot (x^{-1} \cdot x^{-3}) \cdot (y^{-5} \cdot y^{5})$
1. Перемножаем коэффициенты: $0,5 \cdot 4 = 2$.
2. Умножаем степени с основанием $x$: $x^{-1} \cdot x^{-3} = x^{-1+(-3)} = x^{-4}$.
3. Умножаем степени с основанием $y$: $y^{-5} \cdot y^{5} = y^{-5+5} = y^{0} = 1$ (при $y \neq 0$).
Объединяем полученные результаты: $2 \cdot x^{-4} \cdot 1 = 2x^{-4}$.
Ответ: $2x^{-4}$.

г) Чтобы упростить выражение $\frac{2}{5}p^{-4}q^{-3} : (0,6p^{5}q^{-1})$, разделим числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
1. Преобразуем десятичную дробь $0,6$ в обыкновенную: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
2. Разделим коэффициенты: $\frac{2}{5} : \frac{3}{5} = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{2}{3}$.
3. Делим степени с основанием $p$: $p^{-4} : p^{5} = p^{-4-5} = p^{-9}$.
4. Делим степени с основанием $q$: $q^{-3} : q^{-1} = q^{-3-(-1)} = q^{-3+1} = q^{-2}$.
Объединяем полученные результаты: $\frac{2}{3}p^{-9}q^{-2}$.
Ответ: $\frac{2}{3}p^{-9}q^{-2}$.