Номер 6, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

43. Свойства степени с целым показателем. Глава 6. Степень с целым показателем. Часть 2 - номер 6, страница 112.

Условие.

6. Сократите дробь (n — целое число):

$\frac{15^n}{3^{n+1} \cdot 5^{n-1} - 0,2^{-n} \cdot 3^n} = \frac{5^n \cdot 3^n}{3^{n+1} \cdot 5^{n-1} - 5^n \cdot 3^n} = \frac{5^n \cdot 3^n}{3^n \cdot 5^{n-1} \cdot (3 - 5)} = \frac{5}{-2} = -2,5.$

а) $\frac{3^{n+1}+3}{\left(\frac{1}{9}\right)^{-n}-1} = $

б) $\frac{7^{n+1}}{7^{-n}+1} = $

в) $\frac{21^n}{3^{n+3} \cdot 7^n} = $

г) $\frac{4^{-n}+4^{2-n}}{51} = $

Решение.

Решение 2.

а) $\frac{3^{n+1} + 3}{(\frac{1}{9})^{-n} - 1}$

Преобразуем числитель и знаменатель дроби по отдельности, используя свойства степеней.

Числитель: $3^{n+1} + 3 = 3^n \cdot 3^1 + 3 = 3(3^n + 1)$.

Знаменатель: $(\frac{1}{9})^{-n} - 1 = (9^{-1})^{-n} - 1 = 9^n - 1 = (3^2)^n - 1 = 3^{2n} - 1$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к знаменателю: $3^{2n} - 1 = (3^n)^2 - 1^2 = (3^n - 1)(3^n + 1)$.

Теперь подставим преобразованные выражения обратно в дробь:

$\frac{3(3^n + 1)}{(3^n - 1)(3^n + 1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(3^n + 1)$, так как $3^n+1 > 0$ для любого целого $n$.

$\frac{3}{3^n - 1}$

Ответ: $\frac{3}{3^n - 1}$

б) $\frac{7^n + 1}{7^{-n} + 1}$

Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на $7^n$, чтобы избавиться от отрицательной степени в знаменателе:

$\frac{(7^n + 1) \cdot 7^n}{(7^{-n} + 1) \cdot 7^n} = \frac{(7^n + 1) \cdot 7^n}{7^{-n} \cdot 7^n + 1 \cdot 7^n}$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$, упростим знаменатель:

$7^{-n} \cdot 7^n + 7^n = 7^{-n+n} + 7^n = 7^0 + 7^n = 1 + 7^n$

Теперь дробь имеет вид:

$\frac{(7^n + 1) \cdot 7^n}{1 + 7^n}$

Сократим дробь на общий множитель $(7^n + 1)$:

$7^n$

Ответ: $7^n$

в) $\frac{21^n}{3^{n+3} \cdot 7^n}$

Представим число 21 в числителе как произведение простых множителей $3 \cdot 7$:

$21^n = (3 \cdot 7)^n = 3^n \cdot 7^n$

Преобразуем знаменатель, используя свойство степени $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$:

$3^{n+3} \cdot 7^n = 3^n \cdot 3^3 \cdot 7^n$

Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{3^n \cdot 7^n}{3^n \cdot 3^3 \cdot 7^n}$

Сократим общие множители $3^n$ и $7^n$:

$\frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$

Ответ: $\frac{1}{27}$

г) $\frac{4^{-n} + 4^{2-n}}{51}$

Вынесем в числителе общий множитель за скобки. Общим множителем является $4^{-n}$:

$4^{-n} + 4^{2-n} = 4^{-n} + 4^2 \cdot 4^{-n} = 4^{-n}(1 + 4^2)$

Вычислим выражение в скобках:

$1 + 4^2 = 1 + 16 = 17$

Таким образом, числитель равен $17 \cdot 4^{-n}$.

Подставим полученное выражение в дробь:

$\frac{17 \cdot 4^{-n}}{51}$

Сократим числовой коэффициент $\frac{17}{51}$:

$\frac{17}{51} = \frac{17}{3 \cdot 17} = \frac{1}{3}$

В результате получаем:

$\frac{1}{3} \cdot 4^{-n} = \frac{4^{-n}}{3}$

Представим ответ с положительным показателем степени:

$\frac{1}{3 \cdot 4^n}$

Ответ: $\frac{1}{3 \cdot 4^n}$