Номер 11, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

43. Свойства степени с целым показателем. Глава 6. Степень с целым показателем. Часть 2 - номер 11, страница 114.

Условие.

11. Докажите тождество

$\frac{3^n \cdot 11^{n-1} - 3^{n-2} \cdot 11^n}{33^n} + \frac{2}{99} = 0$, где $n$ — целое число.

Решение.

Решение 2.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала упростим дробное выражение, используя свойства степеней.

Исходное выражение:$ \frac{3^n \cdot 11^{n-1} - 3^{n-2} \cdot 11^n}{33^n} + \frac{2}{99} $

Представим знаменатель $33^n$ в виде произведения степеней:$ 33^n = (3 \cdot 11)^n = 3^n \cdot 11^n $

Теперь преобразуем числитель. Используем свойство степени $a^{m-k} = a^m \cdot a^{-k}$:$ 3^n \cdot 11^{n-1} = 3^n \cdot 11^n \cdot 11^{-1} = \frac{3^n \cdot 11^n}{11} $$ 3^{n-2} \cdot 11^n = 3^n \cdot 3^{-2} \cdot 11^n = \frac{3^n \cdot 11^n}{3^2} = \frac{3^n \cdot 11^n}{9} $

Подставим преобразованные выражения обратно в дробь:$ \frac{\frac{3^n \cdot 11^n}{11} - \frac{3^n \cdot 11^n}{9}}{3^n \cdot 11^n} $

Вынесем общий множитель $3^n \cdot 11^n$ в числителе за скобки:$ \frac{3^n \cdot 11^n \cdot (\frac{1}{11} - \frac{1}{9})}{3^n \cdot 11^n} $

Сократим дробь на общий множитель $3^n \cdot 11^n$ (он не равен нулю, так как $n$ — целое число):$ \frac{1}{11} - \frac{1}{9} $

Приведем дроби к общему знаменателю $99$ и выполним вычитание:$ \frac{9}{99} - \frac{11}{99} = \frac{9-11}{99} = -\frac{2}{99} $

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:$ -\frac{2}{99} + \frac{2}{99} = 0 $

Мы получили $0=0$, что подтверждает истинность исходного тождества.

Ответ: Левая часть тождества была преобразована к $0$, что доказывает тождество $ \frac{3^n \cdot 11^{n-1} - 3^{n-2} \cdot 11^n}{33^n} + \frac{2}{99} = 0 $ для любого целого $n$.